Bloccato su limite di successione

[Dieselprogres]

Ciao ragazzi sono nuovo ed è la prima volta che scrivo su questo forum,

sono bloccato su un limite si successione d'esame che è il seguente:

$ lim_(n -> +oo ) ... n(sin ([ (pgreco)/2-1/(n)^(2) ])-1) $

naturalmente cerco di farlo senza l'Hopital perchè non è accettato nelle successioni, perche altrimenti mi sarebbe venuto, qualcuno sà aiutarmi per favore

[Gi81]

E' questo il limite?\[ \lim_{n \to +\infty } \quad n \left[ \sin\left( \frac{\pi}{2} -\frac{1}{n^2} \right) -1 \right] \]

Tieni presente che per ogni $alpha$ reale si ha $sin(pi/2 -alpha)= cos(alpha)$

[Dieselprogres]

si esatto è questo il limite, anche cambiando in cos di 1 su n quadro non mi viene

[Gi81]

Puoi usare Taylor: \[ \cos\left( \frac{1}{n^2}\right) \sim 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n^2}\right)^2 + \text{o}\left(\left(\frac{1}{n^2}\right)^3 \right) \]

[Dieselprogres]

no all'esame sulle successioni non vuole ne taylor ne l'hopital, per questo mi fa impazzire

[Gi81]

Ok. Allora sfrutta il limite notevole \[ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\]
opportunamente modificato

[Dieselprogres]

mi viene 0, esatto? (n 1/n^4)
comunque grazie tante, se è giusto era proprio una cavolata e non ci ero arrivato

[Gi81]

Direri proprio di sì:\[ \lim_{n \to +\infty } \quad n \left[ \sin\left( \frac{\pi}{2} -\frac{1}{n^2} \right) -1 \right] =

\lim_{n \to +\infty } \quad n \left[ \cos\left( \frac{1}{n^2} \right) -1 \right]=

\lim_{n \to +\infty } \quad -n\cdot\left[ \frac{ 1- \cos\left( \frac{1}{n^2} \right) } { \left(\frac{1}{n^2}\right)^2 }\right] \cdot\left(\frac{1}{n^4}\right)= ...

\]

[Dieselprogres]

perfetto!!! sei un grande, grazie ancora