Bloccato esistenza integrale improprio

[jontao]

Sia $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ tale che $\int_1^{+\infty} |f'(x)|dx < +\infty$
Dimostrare che $\int_1^{+\infty} f(x)dx$ esiste $\iff$ $\lim_{n \to +\infty} \int_1^n f(x) dx$ esiste.

Dall'ipotesi deduco che $\int_1^{+\infty} f'(x)dx = lim_{x\to+\infty}f(x) -f(1)$ esiste ed è finito.
Sia $L = lim_{x\to+\infty}f(x) $
1) $L>0 \to \int_1^{+\infty} f(x)dx = +\infty$ ...ma poi?
2) $L<0 \to \int_1^{+\infty} f(x)dx = -\infty$ ...ma poi?
3)$L=0$ il limite non mi dice nulla:
Definisco $F$ tale che $F(x) = \int_1^x f(t)dt$.
Bisogna dimostrare che $\lim_{x\to +\infty}F(x)$ esiste $\iff \lim_{n\to +\infty}F(n)$ esiste.

Non riesco a continuare.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"jontao":
Dimostrare che $\int_1^{+\infty} f(x)dx$ esiste $\iff$ $\lim_{n \to +\infty} \int_1^n f(x) dx$ esiste.

Potresti dirmi qual è la tua definizione di \( \int_1^{\infty} f(x) dx \) ?

Edit: Forse la domanda è soltanto dimostra che \( \int_1^{\infty} f(x) dx \) esiste?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"3m0o":
Edit: Forse la domanda è soltanto dimostra che \( \int_1^{\infty} f(x) dx \) esiste?

Questo è falso

Prendi \( f(x) = \frac{1}{x} \) è chiaramente \( C^1([1,\infty),\mathbb{R})\), inoltre abbiamo che \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx = \infty \] mentre
\[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1 \]

Mentre
\[ \int_1^{\infty} f(x) dx \]
è per definizione uguale a
\[\lim_{t \to \infty} \int_1^{t} f(x)dx \]
quindi non capisco troppo la domanda. Ripeto potresti dare la tua definizione di \( \int_1^{\infty} f(x) dx \) ?