Bloccata sulla dimostrazione dell'estremo inf di un insieme
Analisi 1.. stavo facendo degli esercizi, ancora i primi argomenti..calcolare sup e inf.. e mi blocco ad un passaggio, ossia dimostrare che 0 è l'estremo inferiore di questo insieme : [ (n!+1)/(n+1)! con n naturale ]. Precisamente mi sono bloccata nella disequazione : epsilon > (n!+1)/(n+1)!
Qualche aiutino?
Suggerimenti?
graazie
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Risposte
$epsilon > (n!)/((n+1)!) + 1/((n+1)!)= 1/(n+1) + 1/((n+1)!)$
Ora maggiori il membro di destra:
$epsilon > 2/(n+1)=> n>2/epsilon -1=> n>[2/epsilon]$
Dove con le quadre intendo la parte intera
Ora maggiori il membro di destra:
$epsilon > 2/(n+1)=> n>2/epsilon -1=> n>[2/epsilon]$
Dove con le quadre intendo la parte intera
Grazie!!
...scusate se insisto su queste cose così semplici ma.. se scrivo :
epsilon > (n!+1)/(n+1)! > 0 e da qui dichiaro dimostrata la diseguaglianza : epsilon > (n!+1)/(n+1)!
in quanto epsilon>0 per definizione
e (n!+1)/(n+1)! > 0 per verifica immediata
e che la verifica di quella diseguaglianza così com'è basti a verificare che 0 è l'inf dell'insieme..
ho scritto una boiata ed è meglio che mi ritiro da ingegneria o posso proseguire serenamente i mie studi?
...scusate se insisto su queste cose così semplici ma.. se scrivo :
epsilon > (n!+1)/(n+1)! > 0 e da qui dichiaro dimostrata la diseguaglianza : epsilon > (n!+1)/(n+1)!
in quanto epsilon>0 per definizione
e (n!+1)/(n+1)! > 0 per verifica immediata
e che la verifica di quella diseguaglianza così com'è basti a verificare che 0 è l'inf dell'insieme..
ho scritto una boiata ed è meglio che mi ritiro da ingegneria o posso proseguire serenamente i mie studi?
"melita":
...scusate se insisto su queste cose così semplici ma.. se scrivo :
epsilon > (n!+1)/(n+1)! > 0 e da qui dichiaro dimostrata la diseguaglianza : epsilon > (n!+1)/(n+1)!
in quanto epsilon>0 per definizione
e (n!+1)/(n+1)! > 0 per verifica immediata
e che la verifica di quella diseguaglianza così com'è basti a verificare che 0 è l'inf dell'insieme...
Cerco di spiegarti meglio il meccanismo.
Per provare che \(0=\inf A\), per le proprietà dell'estremo inferiore*, devi dimostrare che:
- [*:212iufe4] ogni elemento di \(A\) è \(\geq 0\);
[/*:m:212iufe4]
[*:212iufe4] in corrispondenza di ogni \(\varepsilon >0\) riesci a determinare almeno un elemento del tuo insieme, chiamiamolo \(\alpha\), tale che:
\[
0\leq \alpha<\varepsilon\; .
\][/*:m:212iufe4][/list:u:212iufe4]
Ora, dato che ogni elemento del tuo insieme dipende da un indice, cioè dato che ogni elemento di \(A\) è del tipo \(a_n\) con \(n\in \mathbb{N}\), il problema di cui sopra equivale al problema di:
- [*:212iufe4] dimostrare che:
\[ \tag{S1}
\frac{n!+1}{(n+1)!} \geq 0
\]
per ogni indice \(n\in \mathbb{N}\);
[/*:m:212iufe4]
[*:212iufe4] determinare, in corrispondenza di \(\varepsilon\), un indice \(\nu=\nu(\varepsilon)\) tale che:
\[ \tag{S2}
\frac{\nu! +1}{(\nu +1)!}<\varepsilon\; .
\][/*:m:212iufe4][/list:u:212iufe4]
A questo punto, nota che, in pratica, il problema posto equivale a stabilire che il sistema di disequazioni:
\[
\begin{cases}
\frac{n! +1}{(n +1)!} \geq 0\\
\frac{n! +1}{(n +1)!} <\varepsilon
\end{cases}
\]
nell'incognita \(n\in \mathbb{N}\) ha (1) la prima disequazione sempre verificata e (2) la seconda disequazione avente qualche soluzione \(\nu (\varepsilon)\) in corrispondenza di ogni valore positivo del parametro \(\varepsilon\).
Quindi per stabilire se \(0\) è l'estremo inferiore del tuo insieme devi risolvere due disequazioni, la seconda delle quali con parametro.
La (S1) non dà problemi, perché il numero \(\frac{n! +1}{(n +1)!}\) è un numero positivo (perché rapporto di due numeri positivi!); quindi la (S1) è effettivamente sempre soddisfatta.
Quindi tutto sta a "risolvere" la seconda disequazione (S2), i.e.:
\[
\frac{n! +1}{(n +1)!} <\varepsilon\; .
\]
Però qui sei di fronte ad un grande problema: la disequazione (S2) non è di nessuno dei tipi di disequazioni elementari che ti hanno insegnato a risolvere alle superiori (cioé, non è una disequazione algebrica, né trigonometrica, né esponenziale, né logaritmica)... Quindi, a meno di colpi di fortuna, non puoi sperare di descrivere con un'unica formula tutto l'insieme delle soluzioni di (S2).
Come fare, allora?
Beh, qui ti viene d'aiuto il "testo" del tuo problema: infatti, esso non richiede di determinare tutte le soluzioni di (S2), bensì chiede di far vedere che tale disequazione ha almeno una soluzione.
Questa non è una differenza da poco! Per dire che esiste un gatto, non c'è bisogno di avere sotto il naso tutti i gatti della Terra, ma basta raccoglierne uno per strada...
Allora il vero problema è: come fare per incontrare un numero \(\nu(\varepsilon)\) che soddisfa (S2)?
Una strategia standard è la seguente**:
Quando voglio determinare una soluzione una disequazione del tipo \(f(n)<\varepsilon\), con un primo membro "complicato", mi basta:
[list=1][*:212iufe4] trovare una funzione "più semplice" \(g(n)\) tale che \(f(n)\leq g(n)\) per ogni \(n\);***
[/*:m:212iufe4]
[*:212iufe4] trovare una soluzione \(\mu(\varepsilon)\) di \(g(n)<\varepsilon\).[/*:m:212iufe4][/list:o:212iufe4]
Infatti, per le proprietà delle disuguaglianze, il numero \(\mu(\varepsilon)\) sarà anche una soluzione della disequazione iniziale \(f(n)<\varepsilon\) (poiché \(f(\mu(\varepsilon))\leq g(\mu(\varepsilon))<\varepsilon\)).
quindi vediamo di applicare la strategia al tuo problema.
Il primo membro della tua disequazione è:
\[
f(n):= \frac{n! +1}{(n +1)!}
\]
e la strategia ci chiede innanzitutto di determinare una funzione \(g(n)\) che sia più semplice di \(f(n)\) che maggiori la \(f(n)\), ossia tale che \(f(n)\leq g(n)\).
Facendo un po' di conti troviamo:
\[
\begin{split}
f(n) &= \frac{n! +1}{(n +1)!} &\text{(spezzo la frazione)}\\
&= \frac{n!}{(n +1)!} + \frac{1}{(n +1)!} &\text{(ricordo la definizione di fattoriale)}\\
&= \frac{\cancel{n!}^1}{(n +1)\cdot \cancel{n!}} + \frac{1}{(n +1)\cdot n!} \\
&= \frac{1}{n +1} + \frac{1}{(n +1)}\cdot \underbrace{\color{maroon}{\frac{1}{n!}}}_{\leq 1} &\text{(maggioro)}\\
&\leq \frac{1}{n +1} + \frac{1}{n +1}\cdot 1\\
&= \underbrace{\color{maroon}{\frac{2}{n+1}}}_{\leq \frac{2}{n}} &\text{(maggioro ancora)}\\
&\leq \frac{2}{n}
\end{split}
\]
per ogni indice \(n\), quindi possiamo prendere come \(g(n):= \frac{2}{n}\).
A questo punto, la strategia ci chiede di determinare almeno una soluzione di \(g(n)<\varepsilon\)... Ma ciò è molto semplice!
Infatti, abbiamo:
\[
\frac{2}{n} <\varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad n>\frac{2}{\varepsilon}
\]
sicché una soluzione del nostro problema è certamente il più piccolo numero naturale che è più grande di \(\frac{2}{\varepsilon}\), cioè:
\[
\mu (\varepsilon) = \left[ \frac{2}{\varepsilon}\right] +1\; .
\]
Quindi, una soluzione del nostro problema, ossia della disequazione (S2), è \(\nu (\varepsilon) =\mu (\varepsilon)=\left[ \frac{2}{\varepsilon}\right] +1\).
Hai così stabilito che \(0\) soddisfa la definizione di estremo inferiore; dunque puoi ben dire che \(0=\inf A\).
__________
* Ricordo che un numero \(l\in \mathbb{R}\) è detto estremo inferiore di un insieme \(A\neq \varnothing\) se esso è il più grande dei minoranti di \(A\). Si dimostra che \(l=\inf A\) equivale a dire che \(l\) gode delle seguenti proprietà:
\[
\begin{cases}
\forall a\in A,\quad l\leq a \\
\forall \varepsilon >0,\exists \alpha \in A:\quad \alpha
\]
** La troverai applicata spesso, in quasi tutte le dimostrazioni che coinvolgono i limiti (ad esempio).
*** Questa, di norma, è la parte "difficile" della strategia. Infatti, non c'è un modo standard per determinare la funzione maggiorante \(g(n)\): tutto è affidato al tuo intuito (che si affina con l'esperienza: quindi continua a fare esercizi
).*** EDIT: Correzioni di un paio di sviste. Chiedo venia.
Gugo ha espresso perfettamente quello che io ho scritto in due righe, son un pessimo insegnante!
Una piccola osservazione : si è mostrato che l'elemento generico dell'insieme , chiamiamolo $a_n $ si avvicina quanto si vuole a $ 0 $ purchè l'indice $ n $ cresca quanto basta... il che è come dire che $lim_( n rarr +oo ) a_n =0 $ il che è quello che avviene ed è facile da verificare.
"Camillo":
Una piccola osservazione : si è mostrato che l'elemento generico dell'insieme , chiamiamolo $a_n $ si avvicina quanto si vuole a $ 0 $ purchè l'indice $ n $ cresca quanto basta... il che è come dire che $lim_( n rarr +oo ) a_n =0 $ il che è quello che avviene ed è facile da verificare.
Esatto, ma non volevo aggiungere altra carne al fuoco.
In particolare, dalla soluzione di \(g(n)<\varepsilon\), discende addirittura che tale disequazione è soddisfatta da tutti gli indici \(n\geq \mu(\varepsilon) = \left[ \frac{2}{\varepsilon}\right] +1\). Dalle proprietà della disuguaglianza, discende allora che per ogni \(n\geq \mu(\varepsilon)\) si ha pure:
\[
\tag{L1}
\frac{n! +1}{(n+1)!} <\varepsilon\; .
\]
D'altro canto, essendo \(\frac{n! +1}{(n+1)!} \geq 0\) e \(-\varepsilon <0\), si ha per ogni indice \(n\in \mathbb{N}\):
\[
\tag{L2}
-\varepsilon < \frac{n! +1}{(n+1)!}\; .
\]
Conseguentemente, per \(n\geq \mu(\varepsilon)\), il che equivale a dire per \(n>\left[ \frac{2}{\varepsilon}\right]\), risultano vere entrambe le disuguaglianze (L1) & (L2) e dunque si può scrivere:
\[
-\varepsilon < \frac{n! +1}{(n+1)!} <\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \left|\frac{n! +1}{(n+1)!}\right|<\varepsilon\; .
\]
Si è così dimostrato che, in corrispondenza di ogni numero \(\varepsilon >0\) è possibile determinare un indice \(\nu(\varepsilon) = \left[ \frac{2}{\varepsilon}\right]\) in guisa tale che:
\[
\forall n>\nu,\quad | a_n|<\varepsilon
\]
(in cui \(a_n=\frac{n!+1}{(n+1)!}\) come nel post precedente). Confrontando quanto mostrato con la definizione di limite, si può affermare di aver dimostrato che vale:
\[
\lim_n a_n=0\; ,
\]
come diceva giustamente Camillo.
grazie
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