Biforcazione di Hopf
Salve a tutti,
Sto studiando teoria delle biforcazioni, in particolare ho un problema per quanto riguarda la biforcazione di Hopf.
Seguendo il libro che sto utilizzando (Devaney R.), mi risulta che se ho una mappa non lineare bidimensionale del tipo:
$ x(n+1)=ax(n)-by(n)+O(2) $
$ y(n+1)=bx(n)+ay(n)+O(2) $
Con a e b numeri reali, posso cambiare coordinate ed utilizzare:
$ z=x+iy $
$ bar(z)=x-iy $
In modo da avere il sitema:
$ z(n+1)=mu z(n)+... $
$ bar(z(n+1))=bar(mu z(n))+... $
dove $ mu = a+ib $ , cioè un autovalore del linearizzato.
Adesso, grazie ad un paio di teoremi che evito di citare, risulta possibile trovare un cambiamento di coordinate che mi trasformi il sistema appena scritto, in un intorno di zero, in un sistema la cui prima equazione risulta essere:
$ z(n+1)=mu z+beta |z(n)|^2z(n)+O(5) $
Fin qui tutto bene. Adesso arriva la mia domanda:
Il sistema viene riscritto in coordinate polari. Si ottiene un sistema del tipo:
$ r(n+1)=|mu|r(n)+alpha(mu)r(n)^3+O(5) $
$ theta(n+1)=theta(n)+eta(mu)+gamma(mu)r(n)^2+O(5) $
Dove $ mu=|mu|e^(ieta) $ e $ gamma, alpha $ sono costanti.
Come si arriva a questo sistema in coordinate polari? Ho cercato ovunque, ma qualsiasi testo si limita a dire "in coordinate polari il sistema diventa..." senza accennare neanche al procedimento.
Probabilmente sono io a non avere molta dimestichezza con i numeri complessi, però non riesco a vedere come devo procedere
Se potete darmi una mano ve ne sarò grato
Grazie in anticipo
Sto studiando teoria delle biforcazioni, in particolare ho un problema per quanto riguarda la biforcazione di Hopf.
Seguendo il libro che sto utilizzando (Devaney R.), mi risulta che se ho una mappa non lineare bidimensionale del tipo:
$ x(n+1)=ax(n)-by(n)+O(2) $
$ y(n+1)=bx(n)+ay(n)+O(2) $
Con a e b numeri reali, posso cambiare coordinate ed utilizzare:
$ z=x+iy $
$ bar(z)=x-iy $
In modo da avere il sitema:
$ z(n+1)=mu z(n)+... $
$ bar(z(n+1))=bar(mu z(n))+... $
dove $ mu = a+ib $ , cioè un autovalore del linearizzato.
Adesso, grazie ad un paio di teoremi che evito di citare, risulta possibile trovare un cambiamento di coordinate che mi trasformi il sistema appena scritto, in un intorno di zero, in un sistema la cui prima equazione risulta essere:
$ z(n+1)=mu z+beta |z(n)|^2z(n)+O(5) $
Fin qui tutto bene. Adesso arriva la mia domanda:
Il sistema viene riscritto in coordinate polari. Si ottiene un sistema del tipo:
$ r(n+1)=|mu|r(n)+alpha(mu)r(n)^3+O(5) $
$ theta(n+1)=theta(n)+eta(mu)+gamma(mu)r(n)^2+O(5) $
Dove $ mu=|mu|e^(ieta) $ e $ gamma, alpha $ sono costanti.
Come si arriva a questo sistema in coordinate polari? Ho cercato ovunque, ma qualsiasi testo si limita a dire "in coordinate polari il sistema diventa..." senza accennare neanche al procedimento.
Probabilmente sono io a non avere molta dimestichezza con i numeri complessi, però non riesco a vedere come devo procedere
Se potete darmi una mano ve ne sarò grato
Grazie in anticipo
Risposte
Ma stasera sbagliate tutti strada ? Che c'entra la fisica ? Fattelo spostare in una sezione più adatta ...
In realtà si tratta di fisica matematica e teoria dei sistemi dinamici... se c'è qualche sezione più adatta va benissimo che venga spostato 
Andrebbe meglio nella sezione di analisi?
Andrebbe meglio nella sezione di analisi?
"alegiarn":
In realtà si tratta di fisica matematica e teoria dei sistemi dinamici... se c'è qualche sezione più adatta va benissimo che venga spostato
Onestamente a me sembra perfettamente adatto alla sezione, non è che possiamo sempre solo parlare di Fisica Generale...
Il problema è puramente matematico, ci sono almeno cinque sezioni che trattano matematica universitaria ... ma soprattutto il senso era: se lo mettete nella sezione "giusta" le probabilità di ricevere una risposta soddisfacente aumentano considerevolmente ... contenti voi, contenti tutti ...
E' la prima volta che posto in questo forum, non conosco bene le sezioni, ho postato qui perchè sono studente di Fisica ed è un quesito riguardante un corso di Meccanica Analitica...
Per il resto so bene che è un problema puramente matematico! Quindi se il suo posto è in un'altra sezione, che ben venga che qualcuno mi consigli come e soprattutto dove farlo spostare
Per il resto so bene che è un problema puramente matematico! Quindi se il suo posto è in un'altra sezione, che ben venga che qualcuno mi consigli come e soprattutto dove farlo spostare
"alegiarn":
Si ottiene un sistema del tipo:
$ r(n+1)=|mu|r(n)+alpha(mu)r(n)^3+O(5) $
$ theta(n+1)=theta(n)+eta(mu)+gamma(mu)r(n)^2+O(5) $
Dove $ mu=|mu|e^(ieta) $ e $ gamma, alpha $ sono costanti.
Come si arriva a questo sistema in coordinate polari?
Hai provato a prendere il logaritmo (complesso) di entrambi i membri dell'equazione
$ z(n+1)=mu z+beta |z(n)|^2z(n)+O(5) $
Adesso tramite sviluppo in serie (per $r = |z|$ vicino a $0$) del logaritmo dovresti ricavare le due equazioni dell'ultimo sistema prendendo semplicemente parte reale e parte immaginaria dell'equazione risultante (che sarebbe il passaggio in coordinate polari).
"yoshiharu":
Hai provato a prendere il logaritmo (complesso) di entrambi i membri dell'equazione
$ z(n+1)=mu z+beta |z(n)|^2z(n)+O(5) $
Adesso tramite sviluppo in serie (per $r = |z|$ vicino a $0$) del logaritmo dovresti ricavare le due equazioni dell'ultimo sistema prendendo semplicemente parte reale e parte immaginaria dell'equazione risultante (che sarebbe il passaggio in coordinate polari).
E' lecito fare l'espansione in serie attorno ad un punto in cui logaritmo complesso diverge? Non riesco a farmelo tornare... Anche perchè appunto non saprei come applicare la formula di Taylor... Come mi suggerisci di fare?
Ho studiato l'analogo per sistemi dinamici a tempo continuo e lì il problema l'ho risolto abbastanza facilmente, perchè una volta ottenuto il sistema del tipo:
$ dot(z)=muz+beta|z|^2z+O(5) $
posso riscriverlo in coordinate polari in questo modo:
$ dot(z)= dot(re^(itheta))=dot(r)e^(itheta)+irdot(theta)e^(itheta)= [Re(mu)r+Re(beta)r^3]e^(itheta)+ir[Im(mu)+Im(beta)r^2]e^(itheta) $
E da questa equazione ottengo le corrispondenti equazioni differenziali in $ r $ e $theta$ (che tra l'altro sono le stesse che trovo in letteratura per la biforcazione di Hopf nel caso di tempo continuo).
Nel caso delle mappe discrete, invece, non riesco a trovare l'espressione per la variazione discreta di $z(n+1)=[re^(itheta)](n+1)$ dal quale poi penso si ottengano le equazioni... (penso si debba usare un analogo discreto della regola di derivazione del prodotto)
Grazie mille per il tuo interessamento
"alegiarn":
E' lecito fare l'espansione in serie attorno ad un punto in cui logaritmo complesso diverge? Non riesco a farmelo tornare... Anche perchè appunto non saprei come applicare la formula di Taylor... Come mi suggerisci di fare?
No, ma chiaramente non fai lo sviluppo attorno allo zero, non potresti: in quella equazione devi portare a fattore comune una potenza di $r$, il logaritmo da espandere deve avere la forma $\ln(1+c\cdot r^2)$, è questo il termine da espandere. Il fattore comune lo separi usando le proprietà dei logaritmi, dovresti ottenere il risultato cercato (se non ho sbagliato i conti).
"yoshiharu":
No, ma chiaramente non fai lo sviluppo attorno allo zero, non potresti: in quella equazione devi portare a fattore comune una potenza di $r$, il logaritmo da espandere deve avere la forma $\ln(1+c\cdot r^2)$, è questo il termine da espandere.
Va bene, mi sembrava abbastanza brutale espandere un logaritmo e lasciarne un altro così come era, ma penso proprio che possa funzionare
... Però i conti non mi tornano... (perdonami eventuali errori grossolani ma non mi ho ancora seguito il corso di analisi complessa, quindi la mia espansione in serie è solo un tentativo
)... Ti scrivo brevemente i passaggi che ho usato: $ ln [z(n+1)]= ln [r(n+1)]+itheta(n+1) $
$ ln(muz+beta|z|^2z)=ln[muz(1+gammar^2)]~= ln(|mu|r)+i(theta+alpha)+Re(gamma)r^2+iIm(gamma)r^2 $
Dalle quali ottengo:
$ ln[r(n+1)]=ln(|mu|r)+Re(gamma)r^2 $
$ theta(n+1)=theta+alpha+Im(gamma)r^2 $
Di queste la seconda mi pare andar bene, la prima invece decisamente meno... (ho posto $gamma=beta/mu$)
Forse è perchè la mia espansione $ln(1+z)=z-z^2/2+z^3/3+...$ per il logaritmo complesso è sbagliata?
"alegiarn":
Va bene, mi sembrava abbastanza brutale espandere un logaritmo e lasciarne un altro così come era, ma penso proprio che possa funzionare
In realtà stavo proponendo qualcosa di peggio
Però i conti non mi tornano... Ti scrivo brevemente i passaggi che ho usato:
$ ln [z(n+1)]= ln [r(n+1)]+itheta(n+1) $
$ ln(muz+beta|z|^2z)=ln[muz(1+gammar^2)]~= ln(|mu|r)+i(theta+alpha)+Re(gamma)r^2+iIm(gamma)r^2 $
Dalle quali ottengo:
$ ln[r(n+1)]=ln(|mu|r)+Re(gamma)r^2 $
$ theta(n+1)=theta+alpha+Im(gamma)r^2 $
Di queste la seconda mi pare andar bene, la prima invece decisamente meno... (ho posto $gamma=beta/mu$)
Forse è perchè la mia espansione $ln(1+z)=z-z^2/2+z^3/3+...$ per il logaritmo complesso è sbagliata?
No, l'espansione è giusta, io riassemblerei il termine con la parte reale di $\gamma$ nella parte reale del logaritmo $\log |\mu r|$ (visto che è da lì che viene...). Per cui hai la parte immaginaria dell'equazione che hai già visto funzionare, e la parte reale nella quale ricostruisci il logaritmo (stavolta come solo parte reale). Sicuramente sarebbe stato più pulito usare l'espansione dell'argomento del logaritmo complesso
[tex]\log z = \log|z| + i \arg z[/tex]
Ma perché fare i conti per bene quando si possono fare le cose a mano in maniera sporca e pericolosa?
"yoshiharu":
Ma perché fare i conti per bene quando si possono fare le cose a mano in maniera sporca e pericolosa?
Ahah hai ragione... E' che mi mancava solo questo misterioso passaggio... Almeno ora mi sono convinto che una cosa del genere viene fuori
Ho cercato invano di dimostrarlo in maniera rigorosa, ma evidentemente, come ho già detto, ci deve essere qualche formula per l'incremento del prodotto di funzioni discrete che non riesco a trovare nè a ricavare... purtroppo sulle equazioni alle differenze e quindi sul passaggio alla derivata discreta riesco a trovare davvero pochi esempi in rete... ho trovato in letteratura [Elaydi] la formula:
$ Delta (x(n)y(n))=x(n+1)Delta y(n)+y(n)Delta x(n) $
Ma probabilmente non so come usarla (soprattutto nel caso dell'esponenziale) oppure non l'ho interpretata come si deve...
Però già con la storia del logaritmo complesso ho fatto un bel passo avanti
Grazie mille!
"alegiarn":
Ho cercato invano di dimostrarlo in maniera rigorosa, ma evidentemente, come ho già detto, ci deve essere qualche formula per l'incremento del prodotto di funzioni discrete che non riesco a trovare nè a ricavare...
Però non vedo perché ti servano queste cose sulle derivate discrete...
Provo a fare i conti, mi fermo al primo ordine e sarò molto meno formale del solito (quindi figurati...) perché altrimenti viene lungo come Guerra e Pace
.Avvertenza: quanto segue potrebbe urtare la sensibilità dei lettori matematicamente più sensibili...
Applico i logaritmi:
[tex]\ln(r_{n+1} e^{i\theta_{n+1}}) = \ln(\mu r_n e^{i\theta_n} + \beta r_n^3 e^{i\theta_n})[/tex]
Usando $\mu=|\mu|e^{i\eta}$, e fattorizzando l'argomento del logaritmo:
[tex]\ln r_{n+1} + i\theta_{n+1} = \ln(|\mu|e^{i\eta} r_n e^{i\theta_n}) + \ln(1+\frac{\beta}{|\mu|} r_n^2 e^{-i\eta})[/tex]
Adesso espando al primo ordine il secondo log e trovo (uso la rappresentazione trigonometrica dell'exp)
[tex]\ln r_{n+1} + i\theta_{n+1} = \ln(|\mu| r_n) + i\eta + i\theta_n + \frac{\beta}{|\mu|} r_n^2 \cos(\eta) - i \sin(\eta) \frac{\beta}{|\mu|} r_n^2[/tex]
A questo punto la parte reale diventa (utilizzando l'espansione al primo ordine, ma al contrario)
[tex]\ln r_{n+1} = \ln(|\mu| r_n) + \frac{\beta}{|\mu|} r_n^2 \cos(\eta) = \ln(|\mu| r_n + \cos(\eta) \beta r_n^3)[/tex]
Chiaramente uno dovrebbe fare i conti con qualche termine in più nell'espansione del logaritmo, probabilmente si può fare direttamente l'espansione in serie dell'argomento complesso (solo che non me la ricordo in questo momento e non ho libri sottomano
). Ma la "tecnica" impiegata dovrebbe essere riutilizzabile anche nel caso più preciso...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo