Bessel $=>$ Riemann-Lebesgue
Ciao, amici!
Il lemma di Riemann-Lebesgue si può formulare in analisi reale come (copio da libro): se $f$ è limitata e integrabile in $[-\pi,\pi]$ allora
\[\lim_{n \to +\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nx\text{d}x=\lim_{n \to +\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{cos}nx\text{d}x=0.\]
(E lo stesso direi che valga in qualsiasi intervallo chiuso anche diverso da un periodo delle funzioni trigonometriche).
Ne ho trovate parecchie dimostrazioni (es. qui), ma nessuna che usi, come dice il mio libro che si può utilizzare, la disuguaglianza di Bessel che afferma che, sotto opportune ipotesi \[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\mathcal{F}(x))^2\text{d}x \geq 2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\]
dove \(\mathcal{F}\) è una funzione cui converge una serie di Fourier e $a_n$ e $b_n$ sono i coefficienti di tale serie. Cioè, non mi balza all'occhio la relazione tra questo risultato e il lemma di Riemann-Lebesgue...
Qualcuno ne sa di più?
$lim_{n \to +\infty} n$ grazie a tutti!
Il lemma di Riemann-Lebesgue si può formulare in analisi reale come (copio da libro): se $f$ è limitata e integrabile in $[-\pi,\pi]$ allora
\[\lim_{n \to +\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nx\text{d}x=\lim_{n \to +\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{cos}nx\text{d}x=0.\]
(E lo stesso direi che valga in qualsiasi intervallo chiuso anche diverso da un periodo delle funzioni trigonometriche).
Ne ho trovate parecchie dimostrazioni (es. qui), ma nessuna che usi, come dice il mio libro che si può utilizzare, la disuguaglianza di Bessel che afferma che, sotto opportune ipotesi \[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\mathcal{F}(x))^2\text{d}x \geq 2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\]
dove \(\mathcal{F}\) è una funzione cui converge una serie di Fourier e $a_n$ e $b_n$ sono i coefficienti di tale serie. Cioè, non mi balza all'occhio la relazione tra questo risultato e il lemma di Riemann-Lebesgue...
Qualcuno ne sa di più?
$lim_{n \to +\infty} n$ grazie a tutti!
Risposte
f è limitata e integrabile in [−π,π]
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x))^2\text{d}x \) converge
\(\displaystyle \Rightarrow 2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2) \) converge
\(\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \) converge
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty}a_n^2=0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nx\text{d}x=0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x))^2\text{d}x \) converge
\(\displaystyle \Rightarrow 2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2) \) converge
\(\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \) converge
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty}a_n^2=0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nx\text{d}x=0 \)
Grazie!!!! 
Non ci avrei proprio pensato perché il mio testo usa il lemma di Riemann-Lebesgue proprio per dimostrare la convergenza puntuale nel caso di una funzione soddisfacente la cosiddetta condizione (D) che, a sua volta, è utilizzata per dimostrare la disuguaglianza di Bessel... e non sapevo neanche che a una funzione bastasse essere integrabile e limitata per avere una serie di Fourier convergente (per questo capitolo il mio libro parla solo della condizione (D), cioè che sia derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···i = 1,...,N)...
Ciao e $+oo$ grazie ancora!
Non ci avrei proprio pensato perché il mio testo usa il lemma di Riemann-Lebesgue proprio per dimostrare la convergenza puntuale nel caso di una funzione soddisfacente la cosiddetta condizione (D) che, a sua volta, è utilizzata per dimostrare la disuguaglianza di Bessel... e non sapevo neanche che a una funzione bastasse essere integrabile e limitata per avere una serie di Fourier convergente (per questo capitolo il mio libro parla solo della condizione (D), cioè che sia derivabile in $[a,b]=[-\pi,\pi]$ eccetto al più un numero finito di punti $a<=x_1<···
Ciao e $+oo$ grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo