Bessel & laplace
ciao a tutti.
Nell'esame di Metodi matematici per le telecomunicazioni mi è capitato questo esercizio:
calcolare la trasformata di laplace di f(t)=J'0(t) dove J0(t) è la funzione di Bessel di ordine zero.
Ora siccome io conosco la trasformata della funzione di Bessel e fa A/(x^2+1)^(1/2) come faccio a trasformare la derivata??
io ho semplicemente scritto che la trasformata è : L[J'(t)]=x/(x^2+1)^(1/2)-f(0) ma non ho specificato la f(0) perchè non ho saputo ricavarla.
Ho sbagliato? mi potete aiutare?
GRAZIE!
Nell'esame di Metodi matematici per le telecomunicazioni mi è capitato questo esercizio:
calcolare la trasformata di laplace di f(t)=J'0(t) dove J0(t) è la funzione di Bessel di ordine zero.
Ora siccome io conosco la trasformata della funzione di Bessel e fa A/(x^2+1)^(1/2) come faccio a trasformare la derivata??
io ho semplicemente scritto che la trasformata è : L[J'(t)]=x/(x^2+1)^(1/2)-f(0) ma non ho specificato la f(0) perchè non ho saputo ricavarla.
Ho sbagliato? mi potete aiutare?
GRAZIE!
Risposte
Dalla presenza di quell' $f(0)$ deduco che stai parlando della trasformata unilatera di Laplace.
In ogni caso non hai sbagliato, semplicemente non ricordi oppure non conosci un teorema, che a dire il vero non si sente spesso. Il teorema in questione è questo:
Teorema del valore iniziale
Se $x(t)$ è assolutamente continuo sugli intervalli compatti contenuti in $[0,+oo[$ e inoltre $x(t)$ e $x'(t)$ sono di ordine esponenziale, vale la seguente formula
$x(0)$ = $lim_(t to 0^+) x(t) = lim_(Re(s) to +oo) s*X(s)$
dove con $Re(s)$ indico la parte reale del numero complesso $s$.
La dimostrazione di questo teorema discende quasi immediatamente dal teorema del comportamento asintotico, per applicare il quale occorre che l'integrale di Laplace sia assolutamente convergente e ciò è sempre vero perché per ipotesi $x'(t)$ (a cui va applicato il teorema) è di ordine esponenziale.
Spendo altre due parole per chiarire qualche altro concetto.
Innanzitutto una funzione $x(t)$ continua su un intervallo $[a,b]$ si dice "assolutamente continua" se è derivabile quasi ovunque, la sua derivata $x'(t) in L^1 (a,b)$ e $AA t in [a,b]$ vale il teorema di integrazione per parti.
Inolte, una funzione localmente sommabile sugli intervalli compatti contenuti in $RR$ si dice "di ordine esponenziale" se esistono $sigma_1$,$sigma_2 in RR$, con $sigma_1 < sigma_2$, tali che $lim_(t to +oo) x(t)e^(-sigma_1 t) = 0$ e $lim_(t to -oo) x(t)e^(-sigma_2 t) = 0$
Sinceramente non ho mai studiato le funzioni di Bessel, ma dato che tu dici di non poterti calcolare in alcun modo $J(0)$, penso che l'unica strada possibile sia quella di applicare il teorema del valore iniziale. Se riesci a provare che la tua funzione rispetta le condizioni del teorema allora dovrai calcolare un semplice limite per trovare il valore nel punto $0$.
In ogni caso non hai sbagliato, semplicemente non ricordi oppure non conosci un teorema, che a dire il vero non si sente spesso. Il teorema in questione è questo:
Teorema del valore iniziale
Se $x(t)$ è assolutamente continuo sugli intervalli compatti contenuti in $[0,+oo[$ e inoltre $x(t)$ e $x'(t)$ sono di ordine esponenziale, vale la seguente formula
$x(0)$ = $lim_(t to 0^+) x(t) = lim_(Re(s) to +oo) s*X(s)$
dove con $Re(s)$ indico la parte reale del numero complesso $s$.
La dimostrazione di questo teorema discende quasi immediatamente dal teorema del comportamento asintotico, per applicare il quale occorre che l'integrale di Laplace sia assolutamente convergente e ciò è sempre vero perché per ipotesi $x'(t)$ (a cui va applicato il teorema) è di ordine esponenziale.
Spendo altre due parole per chiarire qualche altro concetto.
Innanzitutto una funzione $x(t)$ continua su un intervallo $[a,b]$ si dice "assolutamente continua" se è derivabile quasi ovunque, la sua derivata $x'(t) in L^1 (a,b)$ e $AA t in [a,b]$ vale il teorema di integrazione per parti.
Inolte, una funzione localmente sommabile sugli intervalli compatti contenuti in $RR$ si dice "di ordine esponenziale" se esistono $sigma_1$,$sigma_2 in RR$, con $sigma_1 < sigma_2$, tali che $lim_(t to +oo) x(t)e^(-sigma_1 t) = 0$ e $lim_(t to -oo) x(t)e^(-sigma_2 t) = 0$
Sinceramente non ho mai studiato le funzioni di Bessel, ma dato che tu dici di non poterti calcolare in alcun modo $J(0)$, penso che l'unica strada possibile sia quella di applicare il teorema del valore iniziale. Se riesci a provare che la tua funzione rispetta le condizioni del teorema allora dovrai calcolare un semplice limite per trovare il valore nel punto $0$.
grazie per avermi risposto.
In realtà il teorema del valore iniziale lo conosco ma non ho pensato di applicarlo perchè durante il corso non era mai saltato fuori e me l'ero dimenticato.
La funzione di Bessel non l'ho studiata nemmeno io (in analisi), ho solo il valore della sua trasformata di Laplace.
Ora provo a calcolarmi questo limite con un po' di calma così se all'orale dovesse capitarmi una domanda su questo esercizio propongo la tua soluzione
In realtà il teorema del valore iniziale lo conosco ma non ho pensato di applicarlo perchè durante il corso non era mai saltato fuori e me l'ero dimenticato.
La funzione di Bessel non l'ho studiata nemmeno io (in analisi), ho solo il valore della sua trasformata di Laplace.
Ora provo a calcolarmi questo limite con un po' di calma così se all'orale dovesse capitarmi una domanda su questo esercizio propongo la tua soluzione
alla fine la risposta era che la serie della funzione di bessel esiste solo per i numeri dispari quindi in Zero valeva zero.
non lo sapevo
non lo sapevo
Di quale serie parli? E che nesso ha tale serie con la trasformata di Laplace?
"Kroldar":
Di quale serie parli? E che nesso ha tale serie con la trasformata di Laplace?
guarda, non ti so rispondere con precisione perchè io le lezioni di questa materia non ho potuto seguirle quindi ho studiato sugli appunti di un'altra persona e non c'era proprio tutto tutto scritto bene.. (ho fatto quello che potevo
)a quanto ho capito, la funzione di Bessel è possibile svilupparla in serie.
il nesso con Laplace è dovuto al fatto che per calcolare la trasformata mi serviva (tra le altre cose) calcolare la funzione di Bessel nel punto zero.
Scusami se non sono stata per niente chiara
Figurati, sei stata chiara. Purtroppo è altrettanto chiaro che per risolvere quell'esercizio bisogna conoscere bene come è definita la funzione di Bessel.
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