\begin{cases} y' = ye^t \\ y(0) = 0 \end{cases}

[ncant04]

Salve a tutti. Sto riscontrando problemi nel risolvere il pb di Cauchy
\[
\begin{cases} y' = ye^t \\ y(0) = 0 \end{cases}
\]
Con il metodo di separazione delle variabili. Infatti, mi risulta:
\[
\frac{dy}{y} = e^t \, dt \leadsto \int \frac{dy}{y} = \int e^t \, dt \leadsto \ln |y| = e^t + C
\]
da cui:
\[
y(t) = e^{e^t + C}.
\]
Se però provo a porre le C.I., risulta:
\[
y(0) = 0 \implies e^{1 + C} = 0
\]
il che è assurdo.
Qualcuno può aiutarmi?

[Quinzio]

Quando valuti $\int (dy)/y$ devi, come per tutte le funzioni, definire il dominio, che in questo caso e' $y \ne 0$.
Quindi la soluzione e' valida solo se $y \ne 0$.
Pero' si da il caso che le condizioni iniziali cadono proprio fuori dal dominio della tua soluzione, che quindi non si applica.

L'unica soluzione e' $y=0$, costante.
A $t=0$ la derivata e la funzione sono a zero, quindi la funzione non cambia e rimane a zero.

[ncant04]

Grazie mille