Base ortogonale spazio euclideo completo
Ciao, amici! Sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin trovo un esercizio in cui si deve dimostrare che in ogni spazio euclideo $R$ completo esiste una base ortogonale (normalizzata).
Non ho idea di che cosa utilizzare per dimostrarlo...
Se lo spazio ha dimensione infinita, so che un tale spazio di Banach non può avere una base di Hamel numerabile. Quindi, se tale base ortogonale fosse anche una base di Hamel*, non mi parrebbe di poter utilizzare il principio di ortogonalizzazione per alcuna successione di vettori linearmente indipendenti che generino $R$, ma so anche che una base ortogonale non è necessariamente una base Hamel.
$\infty$ grazie a tutti!!!
*Il Kolmogorov-Fomin definisce base di Hamel un sistema linearmente indipendente di vettori \(\{x_{\alpha}\}\subset R\) tali che il più piccolo spazio lineare che li contiene sia $R$ e definisce base ortogonale un sistema ortogonale, quindi indipendente, di vettori \(\{x_{\alpha}\}\subset R\) tali che il sottospazio vettoriale chiuso più piccolo che li contiene è $R$.
Non ho idea di che cosa utilizzare per dimostrarlo...
Se lo spazio ha dimensione infinita, so che un tale spazio di Banach non può avere una base di Hamel numerabile. Quindi, se tale base ortogonale fosse anche una base di Hamel*, non mi parrebbe di poter utilizzare il principio di ortogonalizzazione per alcuna successione di vettori linearmente indipendenti che generino $R$, ma so anche che una base ortogonale non è necessariamente una base Hamel.
$\infty$ grazie a tutti!!!
*Il Kolmogorov-Fomin definisce base di Hamel un sistema linearmente indipendente di vettori \(\{x_{\alpha}\}\subset R\) tali che il più piccolo spazio lineare che li contiene sia $R$ e definisce base ortogonale un sistema ortogonale, quindi indipendente, di vettori \(\{x_{\alpha}\}\subset R\) tali che il sottospazio vettoriale chiuso più piccolo che li contiene è $R$.
Risposte
Ti conviene assumere che lo spazio sia separabile. Quindi esso ammette un sottoinsieme denso e numerabile. Per linearità puoi assumere che ci sia un sistema linearmente indipendente, numerabile, e la cui chiusura lineare sia densa. Applica il procedimento di Gram-Schmidt a questo sistema.
Nota che se lo spazio non è separabile, non cambia sostanzialmente nulla, solo che invece del procedimento di Gram-Schmidt (che è algoritmico, quindi intrinsecamente numerabile) devi usare qualche ammennicolo più astruso di logica. La sostanza non cambia. Inoltre, nella pratica tutti gli spazi di Hilbert sono separabili.
Nota che se lo spazio non è separabile, non cambia sostanzialmente nulla, solo che invece del procedimento di Gram-Schmidt (che è algoritmico, quindi intrinsecamente numerabile) devi usare qualche ammennicolo più astruso di logica. La sostanza non cambia. Inoltre, nella pratica tutti gli spazi di Hilbert sono separabili.
Per gli spazi euclidei separabili, senza condizione di completezza, il Kolmogorov-Fomin, dimostra l'asserto utilizzando appunto il procedimento di Gram-Schmidt e poi propone in esercizio di dimostrare lo stesso per uno spazio euclideo completo, ma non necessariamente separabile. "A che cosa serve" l'ipotesi di completezza?
Grazie di cuore ancora!!!
Grazie di cuore ancora!!!
Uff che esercizio palloso, mi pare anche sostanzialmente inutile. Dovresti applicare il lemma di Zorn o qualche altra forma di assioma della scelta, ma secondo me ti conviene lasciare perdere e andare avanti. Queste cose sono puramente teoriche, non servono a granché
$\infty$ grazie per tutti i consigli!
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