Base di uno spazio vettoriale?

[Ali_s]

Salve a tutti,
purtroppo sono una frana in matematica, devo risolvere un esercizio la cui consegna è "Trovare una base di R".
Non so da che parte cominciare...qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille.

[marcokrt]

Per definizione cerchi un sistema di generatori linearmente indipendenti in grado di generare l'intero spazio vettoriale (tecnicamente "Span").
Ora la tua richiesta è un po' generica senza i dati, ma supponiamo tu parta da un sistema di generatori (che è la situazione canonica nei corsi di algebra lineare... almeno a me a fisica capitava spesso):

Hai dunque un certo numero di vettori, poniamo siano "m"... ovvero hai v_1=coordinate, v_2=coordinate, ecc

Prendi i vettori e li disponi in colonna, v_1 a sinistra di v_2 a sinistra di v_3, ecc.
Ottieni una matrice nxm e la riduci a triangolare superiore con il criterio di Gauss. Fatto questo puoi subito stabilire il rango della matrice contando il numero dei pivot non-nulli (il numero degli elementi della diagonale principale che sono diversi da zero).

Non ti resta che prendere i relativi vettori (i vettori colonna che corrispondono a quei pivot non-nulli individuati a partire dalla matrice triagolare superiore determinata nel modo che ho descritto): il loro insieme forma la base e ne sei sicuro in virtù di particolari teoremi che non sto qui a enumerare.

In breve: l'unico passaggio tecnico sono i conti per trasformare la matrice dei coefficienti dei vettori colonna affiancati in triangolare superiore.

P.S.
Parlo impropriamente di matrice "triangolare superiore", perché ciò è vero solo se m=n, ovvero se la matrice dei coefficienti è quadrata... in caso contrario il nome giusto non è quello, ma devi comunque ottenere il massimo numero di "zeri" nell'angolo in basso a sinistra e considerare gli elementi della relativa diagonale che va da in alto a sinistra a in basso a destra (anche se non va da angolo ad angolo).