Base di Fourier - Ortogonalità
Salve a tutti! Non riesco a capire come mai la base di Fourier $B_F={e^(j2\pi n t/T),n \in ZZ}$ sia ortogonale nell'intervallo $(0,T)$.
Dalle mie rimembranze di algebra, una base si può definire ortogonale solo rispetto ad un certo prodotto scalare, che in questo caso il libro non specifica. Devo supporre si tratti di quello euclideo?
In generale non capisco proprio da dove partire per dimostrare l'ortogonalità, certo la formula c'è scritta nel libro ma sinceramente non ci ho capito molto :\
Dalle mie rimembranze di algebra, una base si può definire ortogonale solo rispetto ad un certo prodotto scalare, che in questo caso il libro non specifica. Devo supporre si tratti di quello euclideo?
In generale non capisco proprio da dove partire per dimostrare l'ortogonalità, certo la formula c'è scritta nel libro ma sinceramente non ci ho capito molto :\
Risposte
[mod="Martino"]Non è difficile convincersi del fatto che questo argomento riguarda l'analisi, non l'algebra. Sposto.[/mod]
Che ne dici di provare a verificare che
[tex]\displaystyle\int_{0}^{T}\phi_n\phi_mdt=0[/tex]
[tex]\forall n\neq m[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{0}^{T}\phi_n\phi_mdt=0[/tex]
[tex]\forall n\neq m[/tex]
Le funzioni sono complesse e quindi il prodotto scalare di due funzioni $f(t), g(t) $ è dato da $ int_0^T f(t) g(t)^* dt $ dove con $g(t)^* $ si intende il complesso coniugato di $g(t) $.
Nel caso specifico il complesso coniugato di $g(t)= e^(j(2pi/T)n t ) $ è dato da....
Nel caso specifico il complesso coniugato di $g(t)= e^(j(2pi/T)n t ) $ è dato da....
Si è vero, pardon per l'imprecisione (anche perchè se così non fosse non avrebbe avuto senso quello che ho scritto dopo [tex]\forall n\neq m[/tex]).
Chiedo scusa per il ritardo della risposta, ma vari problemi ecc ecc 
Comunque sia quello che mi confondeva era la definizione di prodotto scalare, in quanto utilizzavo la froma euclidea.
Ho provato a leggere 1 pò da dove esce fuori la definizione di prodotto scalare che ha citato Camillo, e sono riuscito per sommi capi a venirne fuori
Tornando a quanto chiesto, se ho fatto bene i conti le cose vengono così:
[tex]\displaystyle\int_{0}^{T}e^{j2\pi nt/T}e^{-j2\pi mt/T}dt=\left.T\frac{e^{\frac{1}{T}2j\pi t(n-m)}}{2j\pi(n-m)}\right|_{0}^{T}[/tex]
Mi semplifico tutto poneno $k=\frac{1}{T}2j\pi(n-m)$ ed ottengo
[tex]\displaystyle\left.\frac{e^{kt}}{k}\right|_{0}^{T}=\frac{e^{kT}}{k}-\frac{1}{T}=T\frac{e^{2j\pi(n-m)}}{2j\pi(n-m)}-\frac{1}{T}[/tex]
Il problema si ha per $n=m$, e quindi
[tex]\displaystyle \lim_{n-m\rightarrow 0}T\frac{e^{2j\pi(n-m)}}{2j\pi(n-m)}=T\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+j\sin(2\pi x)}{2\pi x}[/tex]
Da qui sinceramente non mi viene in mente come procedere per calcolare il limite :\
Comunque sia quello che mi confondeva era la definizione di prodotto scalare, in quanto utilizzavo la froma euclidea.
Ho provato a leggere 1 pò da dove esce fuori la definizione di prodotto scalare che ha citato Camillo, e sono riuscito per sommi capi a venirne fuori
Tornando a quanto chiesto, se ho fatto bene i conti le cose vengono così:
[tex]\displaystyle\int_{0}^{T}e^{j2\pi nt/T}e^{-j2\pi mt/T}dt=\left.T\frac{e^{\frac{1}{T}2j\pi t(n-m)}}{2j\pi(n-m)}\right|_{0}^{T}[/tex]
Mi semplifico tutto poneno $k=\frac{1}{T}2j\pi(n-m)$ ed ottengo
[tex]\displaystyle\left.\frac{e^{kt}}{k}\right|_{0}^{T}=\frac{e^{kT}}{k}-\frac{1}{T}=T\frac{e^{2j\pi(n-m)}}{2j\pi(n-m)}-\frac{1}{T}[/tex]
Il problema si ha per $n=m$, e quindi
[tex]\displaystyle \lim_{n-m\rightarrow 0}T\frac{e^{2j\pi(n-m)}}{2j\pi(n-m)}=T\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+j\sin(2\pi x)}{2\pi x}[/tex]
Da qui sinceramente non mi viene in mente come procedere per calcolare il limite :\
Secondo me ti stai complicando la vita.
Se parti dal tuo risultato
lo espandi e viene proporzionale a
[tex]e^{2j\pi (n-m)} - 1[/tex]
ora siccome $n-m$ è un numero intero.....
Se parti dal tuo risultato
"enpires":
[tex]\displaystyle\int_{0}^{T}e^{j2\pi nt/T}e^{-j2\pi mt/T}dt=\left.T\frac{e^{\frac{1}{T}2j\pi t(n-m)}}{2j\pi(n-m)}\right|_{0}^{T}[/tex]
lo espandi e viene proporzionale a
[tex]e^{2j\pi (n-m)} - 1[/tex]
ora siccome $n-m$ è un numero intero.....
Ma l'espressione che hai scritto tu non equivale a
$cos(2\pi (n-m))-1$
che è uguale a zero anche quando $n=m$, mentre in quel caso non dovrebbe essere zero :\
$cos(2\pi (n-m))-1$
che è uguale a zero anche quando $n=m$, mentre in quel caso non dovrebbe essere zero :\
Se $n=m$ però devi tenere presente che l'integranda è uguale a $1$...
Giustissimo!
Si ma... il risultato dell'integrale non dovrebbe automaticamente trovarsi??
Si ma... il risultato dell'integrale non dovrebbe automaticamente trovarsi??
Anche secondo me...questa è una cosa che mi ha sempre lasciato un po' perplesso in effetti. Però mi pare arduo dimostrare che una quantità identicamente nulla possa diventare un numero finito. Cedo la parola a qualche matematico...
attendesi matematici 
intanto grazie per l'aiuto
intanto grazie per l'aiuto
$\int_0^T e^{j2\pi n/T t} e^{-j2\pi m/T t} dt = \int_0^T e^{j2\pi (n-m)/T t} dt$.
A questo punto bisogna distinguere due casi:
se $m=n$ allora si ha $\int_0^T 1 dt = T$
altrimenti se $m\ne n$ allora si ha $[(e^{j2\pi (n-m)/T t})/(j2\pi (n-m)/T)]_0^T = (e^{j2\pi (n-m)} - 1)/(j2\pi (n-m)/T) = 0$
è un errore grave utilizzare la seconda formula per il caso $n=m$, il processo di integrazione porterebbe a una divisione per zero! Che poi considerando $n,m$ continui al limite per $n->m$ o vicerversa $m->n$ si ottenga il risultato corretto, ma ciò è una brutta forzatura, $n,m$ sono quantità intere!
A questo punto bisogna distinguere due casi:
se $m=n$ allora si ha $\int_0^T 1 dt = T$
altrimenti se $m\ne n$ allora si ha $[(e^{j2\pi (n-m)/T t})/(j2\pi (n-m)/T)]_0^T = (e^{j2\pi (n-m)} - 1)/(j2\pi (n-m)/T) = 0$
è un errore grave utilizzare la seconda formula per il caso $n=m$, il processo di integrazione porterebbe a una divisione per zero! Che poi considerando $n,m$ continui al limite per $n->m$ o vicerversa $m->n$ si ottenga il risultato corretto, ma ciò è una brutta forzatura, $n,m$ sono quantità intere!
grazie mille per le precisazioni, xo al limite il risultato che si ottiene è 0 non uno :\
"enpires":
grazie mille per le precisazioni, xo al limite il risultato che si ottiene è 0 non uno :\
$\lim_{x->0} (e^x - 1)/x = 1$, in questo caso $x$ "corrisponderebbe" a $n-m$.
Ok giustissimo, ho confuso io le espressioni
Come curiosità, secondo me c'è la possibilità di "dimostrare" questo risultato in modo intuitivo. In ultima analisi la cosa essenziale da far vedere è che l'integrale [tex]\int_{-\pi}^\pi e^{jn\pi t}\, dt[/tex] si annulla se [tex]n \in \mathbb{Z},\ n \ne 0[/tex]. Intepretando i numeri complessi come vettori di [tex]\mathbb{R}^2[/tex], la famiglia [tex]\{ e^{jn\pi t} \mid t \in [-\pi, \pi] \}[/tex] è la sovrapposizione di [tex]\lvert n \rvert[/tex] circonferenze di centro l'origine e raggio [tex]1[/tex]; supponendo che ognuna di esse abbia una massa [tex]{1 \over \lvert n \rvert}[/tex] distribuita uniformemente, l'integrale in questione è il vettore di posizione del centro di massa del sistema, centro di massa che è ovviamente l'origine.
Di una interpretazione geometrica alternativa abbiamo parlato tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 47663.html
Di una interpretazione geometrica alternativa abbiamo parlato tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 47663.html
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