Base della topologia debole
ho trovato una citazione di un teorema del Brezis
Def. la topologia debole $\sigma(X,X^"*")$ è la più debole tra le topologie su $X$ che rendono continui gli elementi di $X^"*"$
Th. Un sistema fondamentale di intorni per un punto $x_0\inX$ per la topologia debole è costituito da insiemi del tipo $W={x\inX\ |\ \ ||<\epsilon \foralli\inI}$ dove $I$ è un insieme finito di indici.
Ora, io volevo sapere è molto lungo e complicato? è per questo che non lo dimostra? O qualcuno mi può brillantemente illuminare con una trovata geniale he lo faccia apparire semplice?
Def. la topologia debole $\sigma(X,X^"*")$ è la più debole tra le topologie su $X$ che rendono continui gli elementi di $X^"*"$
Th. Un sistema fondamentale di intorni per un punto $x_0\inX$ per la topologia debole è costituito da insiemi del tipo $W={x\inX\ |\ \ |
Ora, io volevo sapere è molto lungo e complicato? è per questo che non lo dimostra? O qualcuno mi può brillantemente illuminare con una trovata geniale he lo faccia apparire semplice?
Risposte
Più che complicato è lungo e noioso. Ma l'idea è molto semplice.
Brezis definisce la topologia debole in maniera astratta, come "la meno fine delle topologie di spazio vettoriale topologico su $X$ che rendano continue tutte le forme lineari di $X'$ ". Per capire meglio cosa questo significhi, prendi una forma lineare qualsiasi $f: X \to RR$ (o anche $CC$ ma sul Brezis si trattano solo spazi vettoriali reali). Prova a dimostrare questa proposizione, molto semplice:
$f$ è continua in $(X, ||*||)$ $iff$ l'insieme $B_f={x \in X\ |\ |f(x)|<1}$ è aperto in $(X, ||*||)$.
Questo risultato continuerà ad essere vero se in luogo di $(X, ||*||)$ consideri $X$ munito di una qualsiasi topologia di spazio vettoriale topologico: una forma lineare su $X$ sarà continua se e solo se $B_f$ è aperto.
Perciò, nel costruire la meno fine delle topologie che rendono continue tutte le $f \in X'$, come minimo dovremo includere tutte le $B_f$, e le loro intersezioni finite. Inoltre andranno aggiunte tutte le riscalature $epsilon B_f$, e le traslazioni $epsilonB_{f} + x_0$, al variare di $epsilon>0,\ x_0 \in X$, se vogliamo che questa topologia dialoghi bene con le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare di $X$. Osserva che le intersezioni di un numero finito di $epsilonB_f+ x_0$ sono proprio l'insieme che tu hai chiamato $W$.
Ecco, questa è l'idea. Questa costruzione è, in realtà, tipica di una classe di spazi vettoriali topologici più ampia, quella degli spazi localmente convessi, in cui la topologia non è indotta da una norma ma da una famiglia di seminorme (osserva che l'applicazione $x\inX \mapsto |f(x)|$ è una seminorma). La topologia debole è una delle tante possibili topologie che si possono costruire in questo modo. Per informazioni puoi consultare, se e quando avrai tempo, l'ultimo capitolo degli appunti di Gianni Gilardi.
Inoltre, una postilla: sopra ho "barato" un po' - infatti sul Brezis la definizione è lievemente diversa dalla mia, e più precisa. Però con la definizione sua diventava difficile per me spiegare l'idea di fondo.
Brezis definisce la topologia debole in maniera astratta, come "la meno fine delle topologie di spazio vettoriale topologico su $X$ che rendano continue tutte le forme lineari di $X'$ ". Per capire meglio cosa questo significhi, prendi una forma lineare qualsiasi $f: X \to RR$ (o anche $CC$ ma sul Brezis si trattano solo spazi vettoriali reali). Prova a dimostrare questa proposizione, molto semplice:
$f$ è continua in $(X, ||*||)$ $iff$ l'insieme $B_f={x \in X\ |\ |f(x)|<1}$ è aperto in $(X, ||*||)$.
Questo risultato continuerà ad essere vero se in luogo di $(X, ||*||)$ consideri $X$ munito di una qualsiasi topologia di spazio vettoriale topologico: una forma lineare su $X$ sarà continua se e solo se $B_f$ è aperto.
Perciò, nel costruire la meno fine delle topologie che rendono continue tutte le $f \in X'$, come minimo dovremo includere tutte le $B_f$, e le loro intersezioni finite. Inoltre andranno aggiunte tutte le riscalature $epsilon B_f$, e le traslazioni $epsilonB_{f} + x_0$, al variare di $epsilon>0,\ x_0 \in X$, se vogliamo che questa topologia dialoghi bene con le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare di $X$. Osserva che le intersezioni di un numero finito di $epsilonB_f+ x_0$ sono proprio l'insieme che tu hai chiamato $W$.
Ecco, questa è l'idea. Questa costruzione è, in realtà, tipica di una classe di spazi vettoriali topologici più ampia, quella degli spazi localmente convessi, in cui la topologia non è indotta da una norma ma da una famiglia di seminorme (osserva che l'applicazione $x\inX \mapsto |f(x)|$ è una seminorma). La topologia debole è una delle tante possibili topologie che si possono costruire in questo modo. Per informazioni puoi consultare, se e quando avrai tempo, l'ultimo capitolo degli appunti di Gianni Gilardi.
Inoltre, una postilla: sopra ho "barato" un po' - infatti sul Brezis la definizione è lievemente diversa dalla mia, e più precisa. Però con la definizione sua diventava difficile per me spiegare l'idea di fondo.
$"=>"$ ovvio perchè la continuità dice: $\forall U\subRR \ \ f^{-1}(U)$ è aperto in $X$.
"Per ogni", quindi anche per $U=(-1,1)$.
$"<="$
se l'aperto di $RR$ è della forma $(-a,a)$, possiamo scrivere $f^{-1}((-a,a))={x\inX\ |\ \ \ |f(x)|(-1,1)$ a quel punto ho l'insieme $f^{-1}((-1,1))$ che è aperto per hp.
Ora posso scrivere per un generico aperto $(a,b)$:
se chiamo $d=b-a$
$(a,b)={a+[d]/[2]}+(-[d]/[2],[d]/[2])$
$f^{-1}((a,b))={x\inX\ |\ f(x)=a+[d]/[2]+r\ \ \text{con}\ \ r\in(-[d]/[2],[d]/[2])}={x\inX\ |\ x=y+z\ \ f(y)=a+[d]/[2]\ ,\ \ |f(z)|<[d]/[2]}=$$\bigcup_{y\ tc\ f(y)=a+[d]/[2]} ({y}+{z\inX\ |\ \ |f(z)|<[d]/[2]})$ e quindi sappiamo che è l'unione di aperti traslati di $y$ per ogni $y$ che rispetta quella condizione.
Giusto? C'era un modo più furbo di arrivarci?
Molto più chiaro ora il perchè quella è la base della topologia.
Solo una domanda:
abbiamo visto che si può scrivere $f^{-1}((a,b))=\bigcup_{y\ tc\ f(y)=a+[d]/[2]} {x\inX\ |\ \ |f(x)-f(y)|<[d]/[2]}$
Tornando adesso alla formula dei $W$ che apriva il topic: perchè cè bisogno di mettere un insieme finito di indici $I$? Avrei potuto prendere un $i$ alla volta e poi tanto l'intersezione di finiti aperti è un aperto e nella mia topologia avrei avuto ancora la stessa cosa, beh si forse in effetti è solo una scelta.
"Per ogni", quindi anche per $U=(-1,1)$.
$"<="$
se l'aperto di $RR$ è della forma $(-a,a)$, possiamo scrivere $f^{-1}((-a,a))={x\inX\ |\ \ \ |f(x)|
Ora posso scrivere per un generico aperto $(a,b)$:
se chiamo $d=b-a$
$(a,b)={a+[d]/[2]}+(-[d]/[2],[d]/[2])$
$f^{-1}((a,b))={x\inX\ |\ f(x)=a+[d]/[2]+r\ \ \text{con}\ \ r\in(-[d]/[2],[d]/[2])}={x\inX\ |\ x=y+z\ \ f(y)=a+[d]/[2]\ ,\ \ |f(z)|<[d]/[2]}=$$\bigcup_{y\ tc\ f(y)=a+[d]/[2]} ({y}+{z\inX\ |\ \ |f(z)|<[d]/[2]})$ e quindi sappiamo che è l'unione di aperti traslati di $y$ per ogni $y$ che rispetta quella condizione.
Giusto? C'era un modo più furbo di arrivarci?
Molto più chiaro ora il perchè quella è la base della topologia.
Solo una domanda:
abbiamo visto che si può scrivere $f^{-1}((a,b))=\bigcup_{y\ tc\ f(y)=a+[d]/[2]} {x\inX\ |\ \ |f(x)-f(y)|<[d]/[2]}$
Tornando adesso alla formula dei $W$ che apriva il topic: perchè cè bisogno di mettere un insieme finito di indici $I$? Avrei potuto prendere un $i$ alla volta e poi tanto l'intersezione di finiti aperti è un aperto e nella mia topologia avrei avuto ancora la stessa cosa, beh si forse in effetti è solo una scelta.
Riguardo l'ultima domanda, una risposta "al volo", domani ti spiego meglio: devi prendere le intersezioni finite perché altrimenti non ottieni una base di intorni ma solo una sottobase (non ho mai sentito parlare di "sottobase di intorni" per la verità). E' un fatto tecnico di topologia generale.
(Nota: ho editato il tuo ultimo topic, aggiungendo una coppia di dollari \$\$ per spezzare l'ultima formula, così che possa andare a capo e permettere la lettura senza dover scorrere la pagina dal basso).
Scusa per il ritardo, purtroppo in questi giorni ho avuto molto da fare. Ti dico come dimostrerei io la proposizione sulla continuità delle forme lineari, cambiando un po' le carte in tavola per cercare di essere più esplicativo e meno tecnico. Parto da questo piccolo lemma che però contiene (imho) il 70% dell'idea dietro la topologia debole:
Proposizione 1
Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico, ovvero uno spazio vettoriale reale [size=75](*)[/size] dotato di una topologia di Hausdorff rispetto alla quale le operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono continue. Sia $f: X \to RR$ una forma lineare. Sono equivalenti:
a) $f$ è continua;
b) Detta $p(x)=|f(x)|$, $p: X \to [0, +\infty)$ è continua.
dimostrazione
Osserva che $p$ è una seminorma. $p$ rappresenta la personale maniera di misurare i vettori che ha la forma lineare $f$. Ad esempio nello spazio $L^2(-pi, pi)$ una forma lineare è quella che ad ogni $x\inL^2(-pi, pi)$ associa il numero $1/(pi) int_{-pi}^pi x(t) sin(t) "d"t$. Se metti tutto in valore assoluto ottieni una seminorma, che misura le funzioni di $L^2(-pi, pi)$ in base al loro coefficiente di Fourier rispetto alla funzione $sin t$. Questa seminorma misura come $1000$ la grandezza di $1000sin(t)$, mentre misura come zero la grandezza di $"un miliardo"*cos(t)$.
Ora possiamo dimostrare la
Proposizione 2
Nelle ipotesi della Proposizione 1, la a) e la b) sono equivalenti alla
c) Detta $B_f={x \in X\ |\ |f(x)|=p(x)<1}$, $B_f$ è aperta in $X$.
dimostrazione
______________________________________
Ho voluto includere il punto b), del quale nel post precedente non avevo fatto menzione, perché grazie ad esso abbiamo una interpretazione geometrica degli insiemi $B_f$ che io trovo illuminante: essi sono delle sfere unitarie, o meglio, delle semisfere unitarie ("semi" perché sono relative a delle seminorme). La continuità delle operazioni di traslazione e di riscalamento fa sì che richiedere le $B_f$ aperte equivale a richiedere aperte tutte le semisfere relative ad $f$, non solo quelle unitarie centrate nell'origine.
E questo porta ad una interpretazione della topologia debole che ti propongo. In uno spazio normato $X$ esiste l'unica funzione $||*||$ che misura la grandezza dei vettori, e il suo giudizio è insindacabile. Questa funzione genera una topologia e conseguentemente una classe di forme lineari continue, ognuna delle quali ha una propria opinione sulla grandezza dei vettori (=una seminorma associata). Vedi l'esempio di prima in $L^2(-pi, pi)$. Considerando $X$ dotato della topologia debole, deleghiamo il compito di costruire la topologia dalla sola $||*||$ alla classe di tutte queste forme lineari.
Si perde qualcosa: infatti non siamo più in grado di assegnare una misura unica ad ogni vettore, perché ogni forma lineare avrà da dire la sua e molte non saranno d'accordo. Ma si guadagna anche qualcosa, perché con tutte queste seminorme è più difficile per un insieme essere aperto, e come vedevamo nell'altro post questo porta a conseguenze interessanti.
______________________________________
La morale della favola è che tu mi hai chiesto il motivo per cui si prendono le intersezioni finite di $epsilonB_{f} + x_0$ e io ho risposto a tutt'altro.
Però ci tenevo a scrivere questa roba sulla topologia debole che trovo più espressiva della frasetta di Brezis "la topologia meno fine che rende continue le forme lineari di $X'$". Tecnicamente è ineccepibile, a differenza del mio discorso che invece di tecnico ha ben poco. Ma la trovo veramente troppo arida. Comunque sia, se e quando vuoi possiamo parlare anche del fatto delle intersezioni finite: basterà un post lungo un terzo di questo.
______________________________________
[size=75](*)[/size] O anche uno spazio vettoriale complesso, è precisamente la stessa cosa a patto di sostituire il valore assoluto con il modulo.
Scusa per il ritardo, purtroppo in questi giorni ho avuto molto da fare. Ti dico come dimostrerei io la proposizione sulla continuità delle forme lineari, cambiando un po' le carte in tavola per cercare di essere più esplicativo e meno tecnico. Parto da questo piccolo lemma che però contiene (imho) il 70% dell'idea dietro la topologia debole:
Proposizione 1
Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico, ovvero uno spazio vettoriale reale [size=75](*)[/size] dotato di una topologia di Hausdorff rispetto alla quale le operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono continue. Sia $f: X \to RR$ una forma lineare. Sono equivalenti:
a) $f$ è continua;
b) Detta $p(x)=|f(x)|$, $p: X \to [0, +\infty)$ è continua.
dimostrazione
Osserva che $p$ è una seminorma. $p$ rappresenta la personale maniera di misurare i vettori che ha la forma lineare $f$. Ad esempio nello spazio $L^2(-pi, pi)$ una forma lineare è quella che ad ogni $x\inL^2(-pi, pi)$ associa il numero $1/(pi) int_{-pi}^pi x(t) sin(t) "d"t$. Se metti tutto in valore assoluto ottieni una seminorma, che misura le funzioni di $L^2(-pi, pi)$ in base al loro coefficiente di Fourier rispetto alla funzione $sin t$. Questa seminorma misura come $1000$ la grandezza di $1000sin(t)$, mentre misura come zero la grandezza di $"un miliardo"*cos(t)$.
Ora possiamo dimostrare la
Proposizione 2
Nelle ipotesi della Proposizione 1, la a) e la b) sono equivalenti alla
c) Detta $B_f={x \in X\ |\ |f(x)|=p(x)<1}$, $B_f$ è aperta in $X$.
dimostrazione
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Ho voluto includere il punto b), del quale nel post precedente non avevo fatto menzione, perché grazie ad esso abbiamo una interpretazione geometrica degli insiemi $B_f$ che io trovo illuminante: essi sono delle sfere unitarie, o meglio, delle semisfere unitarie ("semi" perché sono relative a delle seminorme). La continuità delle operazioni di traslazione e di riscalamento fa sì che richiedere le $B_f$ aperte equivale a richiedere aperte tutte le semisfere relative ad $f$, non solo quelle unitarie centrate nell'origine.
E questo porta ad una interpretazione della topologia debole che ti propongo. In uno spazio normato $X$ esiste l'unica funzione $||*||$ che misura la grandezza dei vettori, e il suo giudizio è insindacabile. Questa funzione genera una topologia e conseguentemente una classe di forme lineari continue, ognuna delle quali ha una propria opinione sulla grandezza dei vettori (=una seminorma associata). Vedi l'esempio di prima in $L^2(-pi, pi)$. Considerando $X$ dotato della topologia debole, deleghiamo il compito di costruire la topologia dalla sola $||*||$ alla classe di tutte queste forme lineari.
Si perde qualcosa: infatti non siamo più in grado di assegnare una misura unica ad ogni vettore, perché ogni forma lineare avrà da dire la sua e molte non saranno d'accordo. Ma si guadagna anche qualcosa, perché con tutte queste seminorme è più difficile per un insieme essere aperto, e come vedevamo nell'altro post questo porta a conseguenze interessanti.
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La morale della favola è che tu mi hai chiesto il motivo per cui si prendono le intersezioni finite di $epsilonB_{f} + x_0$ e io ho risposto a tutt'altro.
Però ci tenevo a scrivere questa roba sulla topologia debole che trovo più espressiva della frasetta di Brezis "la topologia meno fine che rende continue le forme lineari di $X'$". Tecnicamente è ineccepibile, a differenza del mio discorso che invece di tecnico ha ben poco. Ma la trovo veramente troppo arida. Comunque sia, se e quando vuoi possiamo parlare anche del fatto delle intersezioni finite: basterà un post lungo un terzo di questo.
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[size=75](*)[/size] O anche uno spazio vettoriale complesso, è precisamente la stessa cosa a patto di sostituire il valore assoluto con il modulo.
Attirata dal titolo ( la Topologia sarebbe, infatti, un argomento in cui dovrei essere abbastanza ferrata ) mi sono incuriosita e, leggendo i post, una domanda mi sorge spontanea: A quale livello si collocano i problemi di cui stiamo parlando?
Mi chiedo quindi se uno studente ( mediamente bravo ) del terzo anno con alle spalle un bagaglio di Topologia piuttosto esiguo ma ben fondato ( dato dal corso di Geometria 2, almeno per quanto mi riguarda ) possa essere in grado o meno di capire l'argomento.
Se la risposta è sì, allora io mi auto-colloco nella fascia degli studenti non bravi ( o meglio, pessimi ) e abbandono l'idea di fare una tesi di Topologia per la laurea triennale; eppure l'idea mi piaceva..
p.s. Modificato per scusarmi di avere inframmezzato la discussione in corso con la mia domanda, ma "quod fieri.."
Mi chiedo quindi se uno studente ( mediamente bravo ) del terzo anno con alle spalle un bagaglio di Topologia piuttosto esiguo ma ben fondato ( dato dal corso di Geometria 2, almeno per quanto mi riguarda ) possa essere in grado o meno di capire l'argomento.
Se la risposta è sì, allora io mi auto-colloco nella fascia degli studenti non bravi ( o meglio, pessimi ) e abbandono l'idea di fare una tesi di Topologia per la laurea triennale; eppure l'idea mi piaceva..
p.s. Modificato per scusarmi di avere inframmezzato la discussione in corso con la mia domanda, ma "quod fieri.."
@Clorinda: Questa è una questione di medio livello in Analisi Funzionale... Probabilmente, se avessi seguito un corso di AF al terzo anno, tutto ciò ti sembrerebbe molto più comprensibile di quanto non lo sembri adesso conoscendo unicamente la Topologia "Algebrica".
@Clorinda:
Questi argomenti, più che all'ambito della Topologia Generale, appartengono a quello dell'Analisi Funzionale, o meglio all'intersezione tra i due. Ecco perché ti senti spiazzata, non ti spaventare. Tieni conto poi che anche io sono uno studente esattamente come te, quindi la probabilità che sia io a non sapermi spiegare con chiarezza è alta. Poi uno può tranquillamente completare una tesi in Topologia, magari un relatore geometra, senza avere idea di cosa sia la topologia debole di uno spazio normato (e può essere che neanche il relatore lo sappia). Dipende dall'argomento che vuoi trattare, naturalmente.
Last but not least, sei una interessata alla matematica, e la Topologia non finisce con il corso di Geometria 2. In qualsiasi momento puoi prendere un libro o una dispensa (magari online, come quella di Gilardi che dicevo nel primo post) e leggerla: dopo un po' vedrai che la prospettiva cambierà.
[edit]Scrivevo contemporaneamente a Gugo (siamo alle solite).
Questi argomenti, più che all'ambito della Topologia Generale, appartengono a quello dell'Analisi Funzionale, o meglio all'intersezione tra i due. Ecco perché ti senti spiazzata, non ti spaventare. Tieni conto poi che anche io sono uno studente esattamente come te, quindi la probabilità che sia io a non sapermi spiegare con chiarezza è alta. Poi uno può tranquillamente completare una tesi in Topologia, magari un relatore geometra, senza avere idea di cosa sia la topologia debole di uno spazio normato (e può essere che neanche il relatore lo sappia). Dipende dall'argomento che vuoi trattare, naturalmente.
Last but not least, sei una interessata alla matematica, e la Topologia non finisce con il corso di Geometria 2. In qualsiasi momento puoi prendere un libro o una dispensa (magari online, come quella di Gilardi che dicevo nel primo post) e leggerla: dopo un po' vedrai che la prospettiva cambierà.
[edit]Scrivevo contemporaneamente a Gugo (siamo alle solite).
"gugo82":
@Clorinda: Questa è una questione di medio livello in Analisi Funzionale... Probabilmente, se avessi seguito un corso di AF al terzo anno, tutto ciò ti sembrerebbe molto più comprensibile di quanto non lo sembri adesso conoscendo unicamente la Topologia "Algebrica".
X Gugo. Grazie per la risposta; in un certo senso mi rassicura poiché mi sembra di evincere che io non sia " tenuta" a sapere certe cose. D'altra parte mi fa venire il dubbio se non sia opportuno da parte mia seguire il corso opzionale di AF ( che partirà con l'inizio del secondo semestre ) e che avevo inizialmente escluso poiché ( con tutta la stima nei confronti della categoria in questione ) mi sembra una cosa un pò troppo da analisti *!
* Sensazione questa che nasce dal fatto che AF è segnalato come un corso di indirizzo prettamente analitico, mentre noi geometri siamo consigliati a seguire " Curve Algebriche ", " Metodi Geometrici per questo e per quello" ecc..
X Dissonace
Ho letto solo adesso la tua risposta.. hai ragione che la Topologia non finisce con Geometria 2! ( E per fortuna che è così! ).
Darò un'occhiata alle dispense che mi hai segnalato! Grazie!
Ho letto solo adesso la tua risposta.. hai ragione che la Topologia non finisce con Geometria 2! ( E per fortuna che è così! ).
Darò un'occhiata alle dispense che mi hai segnalato! Grazie!
[OT, e mi scuso con Fox per queste divagazioni]
@Clorinda: beh, è ovvio che il corso di Analisi Funzionale sia "roba da analisiti"... C'è Analisi nel titolo!
Ad ogni modo, se ti interessa la Geometria (in particolare, il rapporto tra questioni algebriche e geometriche -che, ad esempio, sono la base della teoria delle curve algebriche-) sei libera di non seguire AF... Non credo che serva obbligatoriamente conoscere gli spazi di Banach per andare avanti su quella strada.
Però molti fatti (non banali) di Analisi Funzionale, così come molte questioni (non banali) di Teoria della Misura, sono in un certo senso al confine tra i mondi dell'Analisi, della Geometria e dell'Algebra.
@dissonance: sta diventando un vizio...
[/OT]
@Clorinda: beh, è ovvio che il corso di Analisi Funzionale sia "roba da analisiti"... C'è Analisi nel titolo!
Ad ogni modo, se ti interessa la Geometria (in particolare, il rapporto tra questioni algebriche e geometriche -che, ad esempio, sono la base della teoria delle curve algebriche-) sei libera di non seguire AF... Non credo che serva obbligatoriamente conoscere gli spazi di Banach per andare avanti su quella strada.
Però molti fatti (non banali) di Analisi Funzionale, così come molte questioni (non banali) di Teoria della Misura, sono in un certo senso al confine tra i mondi dell'Analisi, della Geometria e dell'Algebra.
@dissonance: sta diventando un vizio...
[/OT]
"gugo82":
Però molti fatti (non banali) di Analisi Funzionale, così come molte questioni (non banali) di Teoria della Misura, sono in un certo senso al confine tra i mondi dell'Analisi, della Geometria e dell'Algebra.
Bella questa frase..mi dà proprio l'idea che progredendo con lo studio ci si possa allontanare da una Matematica concepita ( e quindi studiata ) a compartimenti stagni!
Grazie per le informazioni, ho ancora una settimana di tempo per ponderare se inserire AF nel mio piano di studi e ci penserò un pò su!
@Clorinda: Beh, come vedi non ci sto capendo molto nemmeno io che la sto studiando , per il resto ti hanno già risposto in 2 che ne sanno molto più di me...
Comunque ti consiglio di scegliere l'argomento che più ti piace per la Tesi, di tutto il resto fregatene; poi al massimo, se non sai qualcosa la studi.
Un post illuminante davvero.
Grazie dissonance
Magari;
l'idea che mi ero fatto è che derivi dagli assiomi che definiscono gli aperti:
dato che $\forall \phi\inX^"*"$ includiamo le palle traslate e contratte che hai descritto nel tuo post nella topologia $\tau$, va da sè che ci ritroviamo dentro anche le intersezioni finite, e scrivendo l'insieme finito di indici è un modo più "compatto"(visivamente) di vedere la base. No?
, per il resto ti hanno già risposto in 2 che ne sanno molto più di me...Comunque ti consiglio di scegliere l'argomento che più ti piace per la Tesi, di tutto il resto fregatene; poi al massimo, se non sai qualcosa la studi.
Un post illuminante davvero.
Grazie dissonance
"dissonance":
Comunque sia, se e quando vuoi possiamo parlare anche del fatto delle intersezioni finite: basterà un post lungo un terzo di questo.
Magari;
l'idea che mi ero fatto è che derivi dagli assiomi che definiscono gli aperti:
dato che $\forall \phi\inX^"*"$ includiamo le palle traslate e contratte che hai descritto nel tuo post nella topologia $\tau$, va da sè che ci ritroviamo dentro anche le intersezioni finite, e scrivendo l'insieme finito di indici è un modo più "compatto"(visivamente) di vedere la base. No?
"Fox":Non proprio. Intanto, osserviamo che qui stiamo parlando di "basi locali" o "basi di intorni"; in topologia generale una "base di aperti" di uno spazio topologico $X$ è una famiglia $ccB$ di aperti di $X$ tale che ogni aperto $U$ in $X$ sia unione di aperti di $ccB$.
scrivendo l'insieme finito di indici è un modo più "compatto"(visivamente) di vedere la base.
Invece una "base di intorni" in un punto $x\inX$ è una famiglia $ccB(x)$ di intorni di $x$ tale che ogni intorno $x$ di $X$ contenga un intorno di $ccB(x)$.
Si usa lo stesso nome perché sono concetti collegati: data una base di aperti $ccB$ si definisce una base di intorni in ogni punto di $X$ come $ccB(x)={B \in ccB\ :\ x\inB}$. [size=75](*)[/size]
Ora costruiamo una base di aperti della topologia debole. Nella topologia forte una base di aperti è costituita dalle sfere aperte $B(x_0; epsilon)={x \in X \ :\ ||x-x_0|| < epsilon}$, che possiamo scrivere anche $\epsilon B + x_0$ dove $B$ è la sfera unitaria. Per il discorso fatto ieri, la topologia debole deve essere la meno fine delle topologie su $X$ a contenere le semisfere $epsilonB_{f} + x_0$ al variare di $epsilon > 0 , f \in X^{**}, x_0 \in X$.
Però la famiglia $ccS={ epsilonB_{f} + x_0\ :\ epsilon >0, f \in X^{**}, x_0 \in X}$ non è base della topologia debole. Se vogliamo che le semisfere siano aperti, devono essere aperti anche tutte le loro possibili intersezioni finite e unioni di intersezioni finite. E non è possibile esprimere una intersezione finita come ad esempio $B_{f} nn B_{g}$, con $f!=g$, come unione di elementi di $ccS$.
Invece, se consideriamo la famiglia $ccB={ (epsilonB_{f_1} + x_0) nn ... nn (epsilonB_{f_n} + x_0) \ :\ n \in NN, epsilon >0, f_i \in X^{**}, x_0 \in X}$, si dimostra che ogni aperto della topologia debole si può esprimere come unione di questi. Passando da questa base globale alla relativa base locale $ccB(x)$ otteniamo la famiglia $W$ che dice il Brezis.
______________________________
(*) Viceversa data una base di intorni in ogni punto di $x$ si definisce una base di aperti come $ccB={U \sub X \ :\ \forall x \in U, U \in ccB(x)}$.
"dissonance":
Però la famiglia $ccS={ epsilonB_{f} + x_0\ :\ epsilon >0, f \in X^{**}, x_0 \in X}$ non è base della topologia debole.
Giusto, giusto, non è base, ho sbagliato;
però quello che intendevo dire e mi sono espresso molto male è che se prendo la topologia $\tau$ tale che contiene tutti gli insiemi $x_0+\epsilon B_f$ mi ritrovo dentro anche le intersezioni finite a causa della definizione di topologia.
A questo punto dato che la base genera solo tramite unioni, devo prendere le intersezioni per generare.
Ok mi pare che ci sono, grazie ancora.
"Fox":Esatto.
però quello che intendevo dire e mi sono espresso molto male è che se prendo la topologia $\tau$ tale che contiene tutti gli insiemi $x_0+\epsilon B_f$ mi ritrovo dentro anche le intersezioni finite a causa della definizione di topologia.
A questo punto dato che la base genera solo tramite unioni, devo prendere le intersezioni per generare.
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