Baricentro di una superficie di rotazione

[qwert90]

data la porzione di superficie di equazione $z=sqrt(x^2+y^2)$ con $2<=z<=4$, determinare la quota del baricnetro di S.

Ho pensato si trattasse di un tronco di cono.
Per calcolare l'area di S ho raginato in questo modo..

$x=u$
$y=v$
$z=sqrt(u^2+v^2)$

calcolo lo jacobiano e mi trovo che si ha $J_1=-u/sqrt(u^2+v^2)$, $J_2=-v/sqrt(u^2+v^2)$ e $J_3=1$

ora si ha

area$S$=$\intintsqrt(J_1^2+J_2^2+J_3^2)dudv$ ..... cioè

area$S$=$\intint_Csqrt((u^2+v^2)/(u^2+v^2) +1)dudv$

dove C è la corona circolare compresa tra i cerchi di raggi $2$ e $4$ .

quindi usando le coordinata polari ottengo che l'area è uguale a $2\pi*sqrt(2)$


per quanto riguarda il calcolo di $int_(S)zd\sigma$ ho qualche prioblema ... in quanto mi verrebbe che alla fine il baricnetro di tale curva è a quota $16$






E' possibile una cosa del genere??
qualcuno pup aiutarmi??


grazie mille

[enr87]

dovevi calcolare $ \int_S z d \sigma $ (z, non x).

[qwert90]

eh si enr87 ho sbagliato a scrivere nel post sopra...
ora correggo... volevo dire che ho calcolato $\int_(S)zd\sigma$... eil risultato è 16..

[enr87]

non so se serve ancora, comunque non capisco perchè hai calcolato lo jacobiano (o meglio, non capisco cos'hai calcolato): non stai facendo un cambio di variabili, ma parametrizzando una superficie.
l'integrando, visto che la parametrizzazione è in forma cartesiana, sarà del tipo [tex]\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}[/tex].

più precisamente, nel tuo caso hai

[tex]f_u = \frac{2u}{\sqrt{u^2+v^2}}[/tex]
[tex]f_v = \frac{2v}{\sqrt{u^2+v^2}}[/tex]

[qwert90]

ho calcolato lo jacobiano perchè dovevo calcolare l'areaa di $S$ ... infatti la formula del baricentro della superficie è ( per quanto riguarda la quota):
$z_0=(\int_Szd\sigma)/(area(S))$

[enr87]

cosa intendi per jacobiano? fammi vedere la funzione di cui te lo calcoli, perchè continuo a non capire.
l'area infinitesima di S si calcola così: $ || sigma_u ^^ sigma_v || du dv $. per superfici parametrizzate in forma cartesiana diventa $sqrt(1 + f_u^2 + f_v^2) du dv$, quindi l'integrale per calcolarti la superficie è $int_S sqrt(1 + f_u^2 + f_v^2) du dv$

[qwert90]

cmq il risutato dovrebbe essere uguale enr87...sia che si usi la strada da te indicata sia che si usi la mia...
cmq grazei per l'aiuto

[enr87]

bhè, a me il baricentro esce 28/9. sicuramente mi convince più di 16

[qwert90]

allora ho sbagliato io...

[enr87]

16 non poteva essere giusto, andavi fuori dalla superficie. a te mancano i 2, hai sbagliato a derivare (non può uscire la stessa cosa col tuo metodo e col mio)

[qwert90]

eh si infatti provando a rifarei calcoli hai ragione tu enr87

[40rob]

E' molto vecchio il messaggio (di dieci anni), ma ho aggiunto un commento. Ho calcolato in baricentro con il cono capovolto (a partire dalla base di raggio $4$ insomma) e mi viene $8/9$...
$8/9 + 28/9 = 36/9 = 4$ (l'altezza del cono), quindi mi trovo con enr87.

Ho calcolato prima il baricentro della superficie laterale di un cono, e si trova ad un $1/3$ dell'altezza dalla base (perché la superficie laterale di un cono la si può vedere come la composizione di tanti triangolini il cui baricentri si trovano a $1/3$ della loro altezza dalla loro base), quindi il baricentro di tutto il cono = tronco di cono più cono piccolo, si trova a $4/3$ dalla base. Ho impostato poi l'equazione dei baricentri per figure composte usando le superfici laterali del tronco $S_t$ (superficie del tronco) e del cono restante $S_c$ (superficie cono piccolo).

$(S_c * 8/3 + S_t * z) / (S_c + S_t) = 4/3$

(viene $8/3$ perché anche il cono piccolo ha il baricentro dalla sua base a $1/3$ dell'altezza, siccome è alto $2$ il baricentro è a $2/3$ rispetto alla sua base, dato che poi c'è anche il tronco sotto, alto sempre due, è a quota $2 + 2/3$ dalla base del cono grande)
Siccome la parte di superficie del cono piccolo $S_c$ è $1/4$ della totale $S = S_c + S_t$ mentre quella del tronco è $3/4$ della totale $S = S_c + S_t$ sostituendo

$(S * 1/4 * 8/3 + S * 3/4 * z) / S = 4/3$

si elimina $S$ e si trova $z = 8 / 9$. Ho capovolto il cono per fare i calcoli percio poi basta sottrarre a $4$, $z$ e si ottiene il risultato.

So che non si doveva risolvere così l'esercizio, essendo di analisi, ma l'ho risolto per vedere se mi trovavo con qualcuno di voi.