Baricentro di un insieme

[Lebesgue]

Buonasera a tutti, per caso qualcuno avrebbe qualche idea su come svolgere più velocemente il seguente esercizio?

Calcolare le coordinate del baricentro della figura piana omogenea $A = {(x,y) \in \RR : x^2 + 4y^2 <= 16, x <= y <= x + 1 }$.

Io l'ho svolto in maniera molto brutale, trovando le intersezioni dell'ellisse con le rette $y = x $ e $y = x + 1$ e decomponendo $A$ in 3 pezzi, svolgendo poi gli integrali.

Dato che vengono dei conti a dir poco orripilanti, mi stavo domandando se ci fosse qualche strada alternativa più veloce, che non vedo.
(ovviamente, non è detto che questa strada alternativa esista, nel qual caso amen bisognava necessariamente andare di forza bruta)

[Quinzio]

Volendo c'e' un modo geometrico che ti evita di passare per gli integrali, pero' non e' che sia una passeggiata.
Io ti metto il procedimento mettendo solo i calcoli piu' semplici, anche perche' a un certo punto si ha a che fare con l'arco di un coseno, che rimane per forza implicito.

L'idea di base e' che riscalando gli assi cartesiani di una figura, anche il suo baricentro viene semplicemente riscalato.
Per cui riscaliamo un asse in modo da far diventare l'ellisse un cerchio, poi si calcola il baricentro, che e' piu' semplice, e quindi si fa la riscalatura al contrario del baricentro.
Quindi se $x-> 4x, y -> 2y$
l'ellisse diventa $x^2+y^2 = 1$
e le rette
$r_1: y = 2x$
$r_2: y = 2x +1/2$
Poi calcoliamo la distanza di $r_2$ dall'origine che dovrebbe essere $1/{2\sqrt 5}$.

Poi effettuiamo una rotazione della figura in modo che le rette diventino orizzontali (o verticali).
La rotazione non va necessariamente fatta in modo esplicito, una volta che e' chiaro tutto il procedimento.
Con la figura in questo modo, abbiamo quindi che $r_2$ interseca la circonferenza in $1/ {2\sqrt 5}$ e $\sqrt 19 /{2 \sqrt 5}$, che diventano anche il seno e il coseno dell'angolo sulla circonferenza individuato dalla retta, se vogliamo.
A questo punto, concettualmente abbiamo finito.
Abbiamo un segmento circolare e una "striscia" che e' quella che ci interessa.
Calcoliamo il baricentro del segmento circolare, quello della semicirconferenza e facendo la differenza, troviamo il baricentro della striscia. La differenza deve essere chiaramente una media pesata, in modo che abbia senso per un baricentro.
Le formule si trovano sulla rete gia' fatte e pronte, il problema e' che coinvolgono sia il coseno (o il seno) che abbiamo calcolato, sia il relativo angolo, per cui da qui in poi il calcolo esplicito si porta con se un arcoseno.
Infine rimane da ruotare la figura come era in origine (cioe' bisogna ruotare solo il baricentro).
Quindi si fa il riscalamento in senso opposto (sempre solo del baricentro).
La rotazione si fa con una semplice matrice 2x2, del tipo:
$((cos \alpha, -sin \alpha), (sin \alpha, cos \alpha)) ((x), (y))$
dove ad esempio $sin \alpha = 1/{2\sqrt 5}$ (da controllare)

Questo e' quanto.
Capisco che non sia il massimo della vita, ma sembra tutto meno pauroso.
Direi che non dovrebbe essere impossibile fare tutti i calcoli espliciti, pur portandosi dietro l'arcoseno e radici varie, ma onestamente non sono arrivato in fondo, non li ho fatti.

[Lebesgue]

Grazie quinzio
Avevo pensato anche io di fare una cosa del genere, ma alla fine penso vengano bene o male gli stessi calcoli, con gli stessi arccos/arcsin e radici varie
Insomma, bisognava per forza andare di calcoli lunghi e tediosi; vabe, effettivamente esistono anche esercizi fatti così, non ci si può far nulla

[Quinzio]

Guarda, in realtà sono stato pessimista.
Ho fatto i calcoli su carta e sono fattibili, si fa tutto.
Con un po' di tempo li copio qui.

[Quinzio]

Dicevamo che abbiamo il cerchio
$x^2 + y^2 = 1$
e le rette
$y = 2x$
$y = 2x +1/2$

L'ultima dista dal centro $1/{2\sqrt5}$

Dopo la rotazione l'ultima retta diventa $y = 1/{2\sqrt5}$

Quindi su una circonferenza unitaria

$\sin \alpha = 1/{2\sqrt5}$

$\cos \alpha = \sqrt 19 /{2\sqrt5}$

Adesso per calcolare il baricentro della striscia la dividiamo in un settore circolare con angolo da $0$ ad $alpha$ e nel restante triangolo.
Settore circolare
Baricentro ${2/3 (1-\cos \alpha)}/{\alpha}$
Area $\alpha/2$

Triangolo
Baricentro $ 2/3 sin alpha $
Area $1/2 sin alpha \cos \alpha$

Quindi il baricentro complessivo lo troviamo con $y ={y_1 A_1+y_2 A_2}/{ A_1+A_2}$

$y = ({2/3 (1-\cos \alpha)}/{\alpha} \alpha/2 + 2/3 sin alpha 1/2 sin alpha \cos \alpha )/(\alpha/2 + 1/2 sin alpha \cos \alpha) $

$y = 2/3 (1 - \cos^3 alpha)/ (alpha + sin alpha cos alpha)$

Sostituiamo sin e cos

$y = 2/3 (1 - (19/20)^(3/2))/ (arcsin (1/{2\sqrt5}) + \sqrt19 / 20)$

Effettuando la rotazione inversa un punto di coordinate $(0, 1)$ finisce in $(-\sqrt (19/20), 1/(2 sqrt 5))$

Per cui il baricentro ruotato finisce in

$(x, y) = 2/3 (1 - (19/20)^(3/2))/ (arcsin (1/{2\sqrt5}) + \sqrt19 / 20) (-\sqrt (19/20), 1/(2 sqrt 5))$

Rimane da fare il riscalamento inverso $x -> x/4 $ e $y = y/2$

$(x, y) = 2/3 (1 - (19/20)^(3/2))/ (arcsin (1/{2\sqrt5}) + \sqrt19 / 20) (-2\sqrt (19/5), 1/( sqrt 5))$

Queste "dovrebbero" essere le coordinate del baricentro (nell'ellisse di partenza).
Dico dovrebbe perche' i calcoli sono tutti da controllare.

[Lebesgue]

@Quinzio a me venivano un $1/\sqrt(5)$ e un $\sqrt(19)$ sparsi, quindi secondo me potrebbero essere corretti i tuoi calcoli (neanche io li avevo finiti, ho semplicemente scritto "sostituendo tutti i valori numerici si giunge al risultato")

[Quinzio]

Metto anche questo disegno.
Nell'ellisse si vede il baricentro, posizionato secondo la formula analitica.
Poi, facendo finta che la striscia assomigli a un rettangolo, ho incrociato le diagonali e il baricentro e' sull'incrocio.
In effetti e' molto vicino.
Non coincide siccome la striscia non e' un rettangolo.
Quindi direi che i calcoli fatti sono buoni.
Poi c'e' il cerchio usato per il calcolo del baricentro (che manca nel disegno del cerchio).

https://www.geogebra.org/calculator/nzfpjs4g