Baricentro di un corpo
per il calcolo del baricentro di un corpo avente densità costante che occupa $ E={(x,y,z)∈RR^3:2x<=x^2+y^2+z^2<=4} $ , il mio testo dice che posso riscrivere
$ E=B_2(0,0,0) $ $ \\B_1(1,0,0) $
e vorrei capire come mai, dal momento che l'insieme $ E $ , se l'ho disegnato in modo corretto, risulta essere questo:
(la sfera è di raggio 2)
$ E=B_2(0,0,0) $ $ \\B_1(1,0,0) $
e vorrei capire come mai, dal momento che l'insieme $ E $ , se l'ho disegnato in modo corretto, risulta essere questo:
(la sfera è di raggio 2)
Risposte
Se scrivo $x=0$, cos'è in $RR^3$?
E $x=1$?
E $x=1$?
Porta quel 2x all'altro membro e completa il quadrato. Vedrai come sbuca fuori l'equazione della sfera di centro (1,0,0) (questo dovrebbe anche rispondere all'osservazione di Bokonon).
nessun errore di battitura, ormai sto attento 
ho chiarito cosa siano le equazioni proposte da Bokonon, in effetti non ho molta familiarità con $ RR^3 $ .
non riesco però a ricavare l'equazione della sfera
ho chiarito cosa siano le equazioni proposte da Bokonon, in effetti non ho molta familiarità con $ RR^3 $ .
non riesco però a ricavare l'equazione della sfera
Si, vedi bene la mia risposta, l'ho modificata
Ciao itisscience,
Se procedi come ti ha già suggerito dissonance non dovresti avere difficoltà ad elaborare la disuguaglianza di sinistra in modo da ottenere:
$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 >= 1 $
che è proprio lo spazio al di fuori di $ B_1(1,0,0) $
Quindi il tuo testo ha ragione...
Se procedi come ti ha già suggerito dissonance non dovresti avere difficoltà ad elaborare la disuguaglianza di sinistra in modo da ottenere:
$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 >= 1 $
che è proprio lo spazio al di fuori di $ B_1(1,0,0) $
Quindi il tuo testo ha ragione...
Per la verità, desideravo prima fargli notare che il disegno era sbagliato e perché.
Per la traslazione proposta, non mi convince perché o si spezza il dominio in due sfere diverse, oppure va aggiunto $-2x$ anche al membro a destra, complicando il tutto.
Inoltre, credo che manchi un dato, ovvero $x>=0$.
Assumendo anch'esso come dato, per $x=0$ abbiamo una circonferenza di raggio 2. Mentre per $x=1$ l'intersezione è una circonferenza di raggio zero.
Quindi $0<=x<=1$ soddisfa il vincolo.
Infine poiché al variare di x tutte le circonferenze hanno come baricentro il loro centro, tanto vale considerare solo il segmento fra (0,0,0) e (1,0,0) poiché il baricentro cercato di troverà la e poi integrare x rispetto ad una funzione di densità che descrive come variano le aree $pir^2$ delle circonferenze al variare di x $(pi(4-x^2))/(int_0^2 pi(4-x^2)dx)=3/16(4-x^2)$
Insomma alla fine si fa $int_0^1 x3/16(4-x^2)dx=21/64$
Il baricentro quindi è (21/64,0,0)
Spero di non aver scritto troppe castronerie concettuali o di calcoli (fatti a mente).
Per la traslazione proposta, non mi convince perché o si spezza il dominio in due sfere diverse, oppure va aggiunto $-2x$ anche al membro a destra, complicando il tutto.
Inoltre, credo che manchi un dato, ovvero $x>=0$.
Assumendo anch'esso come dato, per $x=0$ abbiamo una circonferenza di raggio 2. Mentre per $x=1$ l'intersezione è una circonferenza di raggio zero.
Quindi $0<=x<=1$ soddisfa il vincolo.
Infine poiché al variare di x tutte le circonferenze hanno come baricentro il loro centro, tanto vale considerare solo il segmento fra (0,0,0) e (1,0,0) poiché il baricentro cercato di troverà la e poi integrare x rispetto ad una funzione di densità che descrive come variano le aree $pir^2$ delle circonferenze al variare di x $(pi(4-x^2))/(int_0^2 pi(4-x^2)dx)=3/16(4-x^2)$
Insomma alla fine si fa $int_0^1 x3/16(4-x^2)dx=21/64$
Il baricentro quindi è (21/64,0,0)
Spero di non aver scritto troppe castronerie concettuali o di calcoli (fatti a mente).
Ciao Bokonon,
Questa non l'ho capita... Non è una traslazione, ma uno spostamento del termine $2x $ da un membro ad un altro di una disuguaglianza: spezzare il dominio in due sfere poi è proprio ciò che scrive il suo testo che l'OP non aveva compreso, infatti
Nulla impedisce di scindere la doppia disuguaglianza $ 2x<=x^2+y^2+z^2<=4 $ nelle due disuguaglianze seguenti:
$ x^2+y^2+z^2 <= 4 $
$ 2x <= x^2+y^2+z^2 $
La prima porge proprio $B_2(0,0,0) $ la seconda si può scrivere
$ x^2 + y^2 + z^2 >= 2x $
$ x^2 - 2x + y^2 + z^2 >= 0 $
$ x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 >= 1 $
$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 >= 1 $
Quest'ultima è proprio la spazio esterno a $B_1(1,0,0) $, quindi è vero che si può scrivere quanto riportato dal suo testo:
$E = {(x,y,z) \in RR^3 : 2x <= x^2 + y^2 + z^2 <= 4} = B_2(0, 0, 0) \\ B_1(1, 0, 0) $
"Bokonon":
Per la traslazione proposta, non mi convince perché o si spezza il dominio in due sfere diverse
Questa non l'ho capita... Non è una traslazione, ma uno spostamento del termine $2x $ da un membro ad un altro di una disuguaglianza: spezzare il dominio in due sfere poi è proprio ciò che scrive il suo testo che l'OP non aveva compreso, infatti
"itisscience":
il mio testo dice che posso riscrivere
$E = B_2(0, 0, 0) \\ B_1(1, 0, 0) $
e vorrei capire come mai
Nulla impedisce di scindere la doppia disuguaglianza $ 2x<=x^2+y^2+z^2<=4 $ nelle due disuguaglianze seguenti:
$ x^2+y^2+z^2 <= 4 $
$ 2x <= x^2+y^2+z^2 $
La prima porge proprio $B_2(0,0,0) $ la seconda si può scrivere
$ x^2 + y^2 + z^2 >= 2x $
$ x^2 - 2x + y^2 + z^2 >= 0 $
$ x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 >= 1 $
$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 >= 1 $
Quest'ultima è proprio la spazio esterno a $B_1(1,0,0) $, quindi è vero che si può scrivere quanto riportato dal suo testo:
$E = {(x,y,z) \in RR^3 : 2x <= x^2 + y^2 + z^2 <= 4} = B_2(0, 0, 0) \\ B_1(1, 0, 0) $
"pilloeffe":
Non è una traslazione, ma uno spostamento del termine $2x $ da un membro ad un altro di una disuguaglianza: spezzare il dominio in due sfere poi è proprio ciò che scrive il suo testo che l'OP non aveva compreso
Con grande ritardo, rispondo
Mi ero scordato il tuo post, non era mancanza di rispetto.
Ho usato un termine improprio ma era proprio questo che intendevo.
Avevo pensato di aver trovato un soluzione alternativa e più semplice senza carta e penna ma temo che non sia corretta e quindi si debba procedere con lo spezzettamento.
ragazzi ho capito lo sbaglio della rappresentazione, per concludere l'esercizio, dopo aver fatto un cambio di variabile $ X=x-1 $ ottengo:
$ (int int int_(B_2(0,0,0)) xdx dy dz -int int int_(B_1(0,0,0)) XdX dy dz -int int int_(B_1(0,0,0)) 1dXdy dz )/(28/3pi) $
ma non capisco come andare avanti perchè mi risulta difficile integrare su una sfera, non l'ho mai fatto
$ (int int int_(B_2(0,0,0)) xdx dy dz -int int int_(B_1(0,0,0)) XdX dy dz -int int int_(B_1(0,0,0)) 1dXdy dz )/(28/3pi) $
ma non capisco come andare avanti perchè mi risulta difficile integrare su una sfera, non l'ho mai fatto
Se ti metti a calcolare integrali, cosa lo abbiamo fatto a fare tutto questo lavoro di scrivere \(B_2(0,0,0)\setminus B_1(1,0,0)\)? Queste cose servono proprio a risparmiare conti. Vatti a vedere la teoria, come si calcola il baricentro di un corpo con un buco, un consiglio.
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