Baricentro di lamina omogenea
Sto tentando di trovare una soluzione a questo esercizio, per ora senza risultati purtroppo.
TESTO:
Determinare le coordinate del baricentro della lamina piana omogenea rappresentata nel piano $ xy $ dall'insieme:
$ D: {(x,y)epsilon R^2| 2x+3<=x^2+y^2<=25} $
TENTTIVO:
Ció che ho provato fin'ora é:
Innanzitutto il dominio altro non é che una corona circolare formata da una circonferenza interna traslata nel centro $ O'(1;0) $ e di raggio $ 2 $, ed una circonferenza esterna di centro l'origine $ O(0;0) $ e raggio $ 5 $.
Ho riscritto la circonferenza interna, effettuando la traslazione, al seguente modo:
$ (x-1)^"+y^2=4 $,
pertanto il dominio l'ho riscritto:
$ D: {(x,y)epsilon R^2| 4<=(x-1)^"+y^2=25} $.
Ho ora effettuato un cambiamento di variabili, ponendo:
$ { ( x-1=u->x=1+u ),( y=v ):} $.
Di conseguenza il nuovo dominio $ E $, mi risulta:
$ E: {(u,v)epsilon R^2| 4<=u^2+v^2=25} $.
Lo Jacobiano sará:
$ J(u,v)= 1 $.
Pertanto l'integrale doppio, considerando la densitá :
$ mu(x,y) $
costante, mi viene:
$ G_x (int int_D xdx dy )/(mis(D)) = (int int_E (1+u)du dv )/(mis(E)) $.
Osservando ora che tale nuovo dominio:
$ E $
risulta polarmente normale, effettuo un cambio in coordinate polari al seguente modo:
$ { ( u=rho cos varphi ),( v=rho sin varphi ):} $.
trovando le limitazioni:
$ 2<=rho<=5 $
e
$ 0<=phi<=2pi $.
Con lo Jacobiano:
$ J(rho,phi)=rho $.
Chiamo il nuovo domino:
$ F: {(rho,phi)epsilon R^2| 2<=rho=5; 0<=phi<=2pi} $
Effettuo dunque la sostituzione trovando:
$ G_x : (int int_E (1+u)du dv )/(mis(E)) = (int_(0)^(2pi) dphi int_(2)^(5) rho+rho^2cos varphi drho )/(mis(F)) =... $
continuando facilmente, si trova $ 0 $...lo stesso per $ G_y $...
TESTO:
Determinare le coordinate del baricentro della lamina piana omogenea rappresentata nel piano $ xy $ dall'insieme:
$ D: {(x,y)epsilon R^2| 2x+3<=x^2+y^2<=25} $
TENTTIVO:
Ció che ho provato fin'ora é:
Innanzitutto il dominio altro non é che una corona circolare formata da una circonferenza interna traslata nel centro $ O'(1;0) $ e di raggio $ 2 $, ed una circonferenza esterna di centro l'origine $ O(0;0) $ e raggio $ 5 $.
Ho riscritto la circonferenza interna, effettuando la traslazione, al seguente modo:
$ (x-1)^"+y^2=4 $,
pertanto il dominio l'ho riscritto:
$ D: {(x,y)epsilon R^2| 4<=(x-1)^"+y^2=25} $.
Ho ora effettuato un cambiamento di variabili, ponendo:
$ { ( x-1=u->x=1+u ),( y=v ):} $.
Di conseguenza il nuovo dominio $ E $, mi risulta:
$ E: {(u,v)epsilon R^2| 4<=u^2+v^2=25} $.
Lo Jacobiano sará:
$ J(u,v)= 1 $.
Pertanto l'integrale doppio, considerando la densitá :
$ mu(x,y) $
costante, mi viene:
$ G_x (int int_D xdx dy )/(mis(D)) = (int int_E (1+u)du dv )/(mis(E)) $.
Osservando ora che tale nuovo dominio:
$ E $
risulta polarmente normale, effettuo un cambio in coordinate polari al seguente modo:
$ { ( u=rho cos varphi ),( v=rho sin varphi ):} $.
trovando le limitazioni:
$ 2<=rho<=5 $
e
$ 0<=phi<=2pi $.
Con lo Jacobiano:
$ J(rho,phi)=rho $.
Chiamo il nuovo domino:
$ F: {(rho,phi)epsilon R^2| 2<=rho=5; 0<=phi<=2pi} $
Effettuo dunque la sostituzione trovando:
$ G_x : (int int_E (1+u)du dv )/(mis(E)) = (int_(0)^(2pi) dphi int_(2)^(5) rho+rho^2cos varphi drho )/(mis(F)) =... $
continuando facilmente, si trova $ 0 $...lo stesso per $ G_y $...
Risposte
Il risultato sarebbe:
$ G(-4/21;0) $
$ G(-4/21;0) $
Il dominio non lo puoi definire corona circolare, lo sarebbe se i centri delle due circonferenze fossero coincidenti. Se proprio vuoi definirlo è dato dall'interno della circonferenza di centro l'origine e raggio $5$ e dall'esterno della circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio 2. Per prima cosa facciamo un ragionamento geometrico: visto che la lamina è omogenea, le simmetrie di massa coincidono con quelle geometriche. Osservando il dominio (disegnato) puoi immediatamente dedurre che il baricentro avrà coordinate $B(x_B,0)$ poiché $D$ risulta simmetrico rispetto all'asse delle ascisse. Pertanto dovremo calcolare
$$x_B=\frac{1}{\int\int_D dx\ dy}\cdot\int\int_D x\ dx\ dy$$
(E fino a qui, mi sembra che tu abbia ragionato correttamente, per cui il problema è, quasi sicuramente, una questione di calcoli). Io, anche se a prima vista può sembrare un caos, farei i calcoli in questo modo: osserva che $D=C_5\setminus C_2$, cioè si ottiene come differenza insiemistica tra le due circonferenze. Pertanto tutti gli integrali si possono pensare come $$\int\int_D=\int\int_{C_1}-\int\int_{C_2}$$. Ora, puoi effettuare sui due insiemi le seguenti sostituzioni ovvie e pratiche:
$$C_1:\ x=r\cos t,\ y=r\cos t,\ r\in[0,5],\ t\in[0,2\pi]$$
$$C_2:\ x=1+r\cos t,\ y=r\sin t,\ r\in[0,2],\ t\in[0,2\pi]$$
Osserva che in generale avresti
$$\int\int_D f(x,y)\ dx\ dy=\int\int_{C_1} f(x,y)\ dx\ dy-\int\int_{C_2} f(x,y)\ dx\ dy=\\ \int_0^{2\pi}\int_0^5 F_1(r,t)\cdot r\ dr\ dt-\int_0^{2\pi}\int_0^5 F_2(r,t)\cdot r\ dr\ dt=\\ \int_0^{2\pi}\left(\int_0^5 F_1(r,t)\ r\ dr-\int_0^2 F_2(r,t)\ r\ dr\right)\ dt$$
Osserva che le due funzioni cambiano a causa della differente scelta del cambio di coordinate, ma la cosa che ho scritto prima vale sia per calcolare la massa, dove $f(x,y)=1$, sia per la coordinata del baricentro, dove $f(x,y)=x$. Se hai problemi, fammi sapere.
$$x_B=\frac{1}{\int\int_D dx\ dy}\cdot\int\int_D x\ dx\ dy$$
(E fino a qui, mi sembra che tu abbia ragionato correttamente, per cui il problema è, quasi sicuramente, una questione di calcoli). Io, anche se a prima vista può sembrare un caos, farei i calcoli in questo modo: osserva che $D=C_5\setminus C_2$, cioè si ottiene come differenza insiemistica tra le due circonferenze. Pertanto tutti gli integrali si possono pensare come $$\int\int_D=\int\int_{C_1}-\int\int_{C_2}$$. Ora, puoi effettuare sui due insiemi le seguenti sostituzioni ovvie e pratiche:
$$C_1:\ x=r\cos t,\ y=r\cos t,\ r\in[0,5],\ t\in[0,2\pi]$$
$$C_2:\ x=1+r\cos t,\ y=r\sin t,\ r\in[0,2],\ t\in[0,2\pi]$$
Osserva che in generale avresti
$$\int\int_D f(x,y)\ dx\ dy=\int\int_{C_1} f(x,y)\ dx\ dy-\int\int_{C_2} f(x,y)\ dx\ dy=\\ \int_0^{2\pi}\int_0^5 F_1(r,t)\cdot r\ dr\ dt-\int_0^{2\pi}\int_0^5 F_2(r,t)\cdot r\ dr\ dt=\\ \int_0^{2\pi}\left(\int_0^5 F_1(r,t)\ r\ dr-\int_0^2 F_2(r,t)\ r\ dr\right)\ dt$$
Osserva che le due funzioni cambiano a causa della differente scelta del cambio di coordinate, ma la cosa che ho scritto prima vale sia per calcolare la massa, dove $f(x,y)=1$, sia per la coordinata del baricentro, dove $f(x,y)=x$. Se hai problemi, fammi sapere.
Appena tornato dall'universitá...sí, é proprio cosí. É la strada piú intelligente da prendere considerare la differenza. Ti ringrazio!!
Prego, figurati. Mai tralasciare la geometria dei domini su cui si lavora: spesso un buon occhio ti evita pensate troppo lunghe e contorte.
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