Banali calcoli per una caratterizzazione..

[Gaal Dornick]

Sarà la vecchiaia e la stanchezza..ma non riesco proprio a dimostrare questa cosa. Serve per la caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe, ma il problema non è così profondo..

Data $f in H(D'(z_0,rho))$, $m in ZZ$
$f$ ha in $z_0$ uno zero di ordine $m<=> EE lim_(z to z_0) frac{f(z)}{(z-zo)^m}!=0$

mostrare che $<=> EE alpha,beta>0 t.c. alpha|z-z_0|^m<=|f(z)|<=beta|z-z_0|^m

Con considerazioni da analisi1 riesco a dimostrare $=>$ ma non mi vengono in mente le considerazioni da analisi1 per dimostrare l'altra implicazione!

[rubik2]

Gaal non so è una stupidaggine ma dividere per $|z-z_0|^m$ e poi mandare al limite?

[Gaal Dornick]

Ok. Se il limite esiste allora è diverso da zero, visto che $alpha>0$ ed è finito, visto che $beta<+oo$.
Ma come garantisco che esiste?

[rubik2]

$|f(z)/(z-z_0)^m|<=beta$ e $f(z)/(z-z_0)^m$ è olomorfa in un disco centrato in $z_0$ e raggio minore di $rho$ privato di $z_0$ quindi per il teorema del prolungamento di riemann si può estendere ad una funzione olomorfa in tutto il disco. che dici?

[Gaal Dornick]

Ok!! grazie mille.

E' bello perdersi in un bicchier d'acqua.