Banale questione su una serie complessa

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gugo82

9 ott 2009, 23:56

Dato il mal di testa che mi ritrovo, gradirei una mano su una questione davvero banalissima.

La serie $\sum (-"i")^n/n$ converge?

Ho pensato di svolgere così:

$(-"i")^n=\{(-"i", ", se " n=4k+1),(-1, ", se " n=4k+2),("i", ", se " n=4k+3),(1, ", se " n=4k+4):}$

di modo che, separando il reale dall'immaginario, si ottiene:

$\sum (-"i")^n/n=-"i"-1/2+"i"/3+1/4-"i"/5-1/6+"i"/7+1/8-\ldots $
$\quad \quad =(-1/2+1/4-1/6+1/8-\ldots )+i(-1+1/3-1/5+1/7-\ldots )$
$\quad \quad =\sum (-1)^h/(2h)+"i"\sum (-1)^h/(2h-1)$

con le serie all'ultimo membro convergenti per Leibniz.
Che dite, fila?

Risposte

amel3

9 ott 2009, 22:49

Ma scusa non basta che usi il criterio di Abel-Dirichlet (o semplicemente di Dirichlet, non so qual è la notazione più comune...)?

gugo82

9 ott 2009, 23:00

Sarebbe?
Tipo quel criterio che si applica alle serie $\sum a_nb_n$ con $a_n\to 0$ e $(b_n)$ con le somme equilimitate?
Non me le ricordo mai le ipotesi su $(b_n)$...

amel3

9 ott 2009, 23:05

Yes, ma anche con $a_n$ decrescente (le $a_n$ sono reali non negative, in questo caso le $b_n$ sono complesse).

gugo82

9 ott 2009, 23:10

Beh, in effetti mi pare di ricordare che la dimostrazione si basa su un riordinamento dei termini della somma... Quindi probabile che il risultato sia valido pure nel complesso (ho le proprietà commutativa ed associativa, quindi dovrei farcela).
Domani mi ci metto a sbariare un po'.

Grazie amel.