Banale problema di Cauchy
Riporto il calcolo di un banale problema di Cauchy per poi chiedervi gentilmente un chiarimento 
$y'(t) = t/(2y^3(t)$ con $y(0) = -1$
$y'(t)*2y^3(t) = t$ $int_(0)^xy'(t)*2y^3(t)dt = int_(0)^xtdt$ pongo $y(t) = z$ $y'(t) = dy/dt = dz/dt$
$int_(y(0))^(y(x))2z^3dz = int_(0)^xtdt$ $(2z^4/4)_(y(0))^(y(x)) = (t^2/2)_(0)^x$
$(2y^4(x))/4 -2/4 = x^2/2$ $2y^4(x) - 2 = 2x^2$ $y^4(x) = (2x^2 + 2)/2 = x^2 + 1$
$y(x) = +-(x^2+1)^(1/4)
2 soluzioni, ma se non ricordo male un problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione.
Mi sfugge qualcosa?
Grazie!
$y'(t) = t/(2y^3(t)$ con $y(0) = -1$
$y'(t)*2y^3(t) = t$ $int_(0)^xy'(t)*2y^3(t)dt = int_(0)^xtdt$ pongo $y(t) = z$ $y'(t) = dy/dt = dz/dt$
$int_(y(0))^(y(x))2z^3dz = int_(0)^xtdt$ $(2z^4/4)_(y(0))^(y(x)) = (t^2/2)_(0)^x$
$(2y^4(x))/4 -2/4 = x^2/2$ $2y^4(x) - 2 = 2x^2$ $y^4(x) = (2x^2 + 2)/2 = x^2 + 1$
$y(x) = +-(x^2+1)^(1/4)
2 soluzioni, ma se non ricordo male un problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione.
Mi sfugge qualcosa?
Grazie!
Risposte
"luke84":
Riporto il calcolo di un banale problema di Cauchy per poi chiedervi gentilmente un chiarimento
$y'(t) = t/(2y^3(t)$ con $y(0) = -1$
$y'(t)*2y^3(t) = t$ $int_(0)^xy'(t)*2y^3(t)dt = int_(0)^xtdt$ pongo $y(t) = z$ $y'(t) = dy/dt = dz/dt$
$int_(y(0))^(y(x))2z^3dz = int_(0)^xtdt$ $(2z^4/4)_(y(0))^(y(x)) = (t^2/2)_(0)^x$
$(2y^4(x))/4 -2/4 = x^2/2$ $2y^4(x) - 2 = 2x^2$ $y^4(x) = (2x^2 + 2)/2 = x^2 + 1$
$y(x) = +-(x^2+1)^(1/4)
2 soluzioni, ma se non ricordo male un problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione.
Mi sfugge qualcosa?
Grazie!
ma la soluzione $y=root(4)(x^2+1)$ non soddisferebbe la condizione iniziale $y(0)=-1$ che invece è soddisfatta da $y=-root(4)(x^2+1)$, quindi la soluzione dell'intero problema di cauchy è $y=-root(4)(x^2+1)$
"nicasamarciano":
ma la soluzione $y=root(4)(x^2+1)$ non soddisferebbe la condizione iniziale $y(0)=-1$ che invece è soddisfatta da $y=-root(4)(x^2+1)$, quindi la soluzione dell'intero problema di cauchy è $y=-root(4)(x^2+1)$
Grazie per la risposta!
Quindi posso solo verificare alla fine se la soluzione soddisfa la condizione di partenza?
E' questo il normale modo di procedere o c'è modo di arrivare direttamente ad una soluzione corretta?
In realtà la cosa è un po' più profonda di quanto ti è stato risposto: tu hai trovato "due soluzioni", ma ancora prima di mettere le condizioni, ricorda che la soluzione di un problema di Cauchy è anzitutto una funzione continua. Questo ti dice che sei costretto a tenere o la soluzione con il segno + oppure la soluzione con il segno -. Il dato iniziale poi ti dice quale delle due tenere.
Un'altra cosa: dici che "so che il problema di Cauchy ha una ed una sola soluzione". Questo non è sempre vero, devono essere verificate condizioni di locale lipschitzianità (vedi Teorema di esistenza ed unicità locale).
Un'altra cosa: dici che "so che il problema di Cauchy ha una ed una sola soluzione". Questo non è sempre vero, devono essere verificate condizioni di locale lipschitzianità (vedi Teorema di esistenza ed unicità locale).
Per comprendere meglio le cose forse conviene riscrivere l’equazione in termini un poco meno ‘oscuri’ [non è un modello di ‘chiarezza’ ad esempio il fatto che all’inizio la varabile indipendente sia $t$, poi divenga una $z$ e infine una $x$…]. Tralasciando per il momento la ‘condizione iniziale’ scriviamo…
$y’=x/(2*y^3)$ (1)
La tecnica risolutiva ‘step by step’, assai ‘semplice’, è la seguente…
$2*y^3*y’=x$ -> $2* int y^3*dy=int x*dx$ -> $½ y^4= ½ x^2 + c$ -> $y=root(4) (x^2+c)$ (2)
E’ appena il caso di notare che non è necessario mettere il simbolo $+-$ davanti alla radice poiché la funzione stessa ‘radice quarta’ è polidroma e quindi implicitamente vale tanto il segno $+$ quanto il segno $-$. Vediamo ora di introdurre la ‘condizione iniziale’, la quale nel problema posto è $y(0)=-1$. In tal caso la soluzione al problema di Cauchy è unica e corrisponde alla branca reale negativa della funzione ‘radice quarta’. Se però avessimo posto come ‘condizione iniziale’ $y(0)=0$ la soluzione sarebbe stata $y=sqrt(x)$ nella quale sia la branca positiva sia quella negativa della funzione ‘radice quadrata’ soddisfano la condizione iniziale. In questo caso dunque la soluzione non è unica. Ciò non soprende in quanto se consideriamo la (1) come caso particolare della forma…
$y’= f(x,y)$ (3)
… si vede subito che nel caso della (1) non la $f(x,y)$ non soddisfa le condizioni di Lipnitch per $y=0$. Ciò non vuol dire che per ogni condizione iniziale la soluzione non è unica, significa semplicemente che possono esserci condizioni inziali per cui la soluzione non è unica…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y’=x/(2*y^3)$ (1)
La tecnica risolutiva ‘step by step’, assai ‘semplice’, è la seguente…
$2*y^3*y’=x$ -> $2* int y^3*dy=int x*dx$ -> $½ y^4= ½ x^2 + c$ -> $y=root(4) (x^2+c)$ (2)
E’ appena il caso di notare che non è necessario mettere il simbolo $+-$ davanti alla radice poiché la funzione stessa ‘radice quarta’ è polidroma e quindi implicitamente vale tanto il segno $+$ quanto il segno $-$. Vediamo ora di introdurre la ‘condizione iniziale’, la quale nel problema posto è $y(0)=-1$. In tal caso la soluzione al problema di Cauchy è unica e corrisponde alla branca reale negativa della funzione ‘radice quarta’. Se però avessimo posto come ‘condizione iniziale’ $y(0)=0$ la soluzione sarebbe stata $y=sqrt(x)$ nella quale sia la branca positiva sia quella negativa della funzione ‘radice quadrata’ soddisfano la condizione iniziale. In questo caso dunque la soluzione non è unica. Ciò non soprende in quanto se consideriamo la (1) come caso particolare della forma…
$y’= f(x,y)$ (3)
… si vede subito che nel caso della (1) non la $f(x,y)$ non soddisfa le condizioni di Lipnitch per $y=0$. Ciò non vuol dire che per ogni condizione iniziale la soluzione non è unica, significa semplicemente che possono esserci condizioni inziali per cui la soluzione non è unica…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
@luke84
la ragione vera per cui lupo grigio è intervenuto è che lupo grigio ha delle questioni personali con pezzi della mate e con alcuni forumisti
ti suggerisco di tenere conto con molta cautela di quello detto da lupo grigio, per le meno in quanto è stato detto fuori contesto
nel contesto in cui ti è stato posto il problema di cui dovevi trovare la soluzione, ovvero funzioni reali di variabili reale, tu DEVI mettere il segno +/- davanti alla radice
come sanno tutti quelli che hanno studiato mate, nel contesto delle funzioni reali di variabile reale, il simbolo $\sqrt$ si riferisce alla radice quadrata ARITMETICA di una quantità maggiore o uguale a zero
la ragione vera per cui lupo grigio è intervenuto è che lupo grigio ha delle questioni personali con pezzi della mate e con alcuni forumisti
ti suggerisco di tenere conto con molta cautela di quello detto da lupo grigio, per le meno in quanto è stato detto fuori contesto
nel contesto in cui ti è stato posto il problema di cui dovevi trovare la soluzione, ovvero funzioni reali di variabili reale, tu DEVI mettere il segno +/- davanti alla radice
come sanno tutti quelli che hanno studiato mate, nel contesto delle funzioni reali di variabile reale, il simbolo $\sqrt$ si riferisce alla radice quadrata ARITMETICA di una quantità maggiore o uguale a zero
"Luca.Lussardi":
In realtà la cosa è un po' più profonda di quanto ti è stato risposto: tu hai trovato "due soluzioni", ma ancora prima di mettere le condizioni, ricorda che la soluzione di un problema di Cauchy è anzitutto una funzione continua. Questo ti dice che sei costretto a tenere o la soluzione con il segno + oppure la soluzione con il segno -. Il dato iniziale poi ti dice quale delle due tenere.
Vero.
"Luca.Lussardi":
Un'altra cosa: dici che "so che il problema di Cauchy ha una ed una sola soluzione". Questo non è sempre vero, devono essere verificate condizioni di locale lipschitzianità (vedi Teorema di esistenza ed unicità locale).
Vero.
"lupo grigio":
La tecnica risolutiva ‘step by step’, assai ‘semplice’, è la seguente…
$2*y^3*y’=x$ -> $2* int y^3*dy=int x*dx$ -> $½ y^4= ½ x^2 + c$ -> $y=root(4) (x^2+c)$ (2)
Tralasciando la questione del +/- davanti alla radice (non credo che l'Einstein o la scimmia in questione che mi esaminerà sarebbe molto contenta della mancanza di quel +/-
), non prendere in considerazione la condizione iniziale durante lo svolgimento e portarsi avanti la solita costante di integrazione, alla fine potrebbe rendere più chiara la scelta della soluzione corretta?
"… si vede subito che nel caso della (1) non la f(x,y) non soddisfa le condizioni di Lipnitch per y=0."
Lupo grigio, per $y=0$ non hai perdita di locale lipschitzianità, ma hai perdita della definizione di $f$.
Lupo grigio, per $y=0$ non hai perdita di locale lipschitzianità, ma hai perdita della definizione di $f$.
La domanda di luke [e anche la frase posta entro la parentesi... 
] denota vivace intelligenza e merita una risposta 'adeguata'...
Consideriamo il caso in cui la soluzione di un problema è legata alla soluzione di una equazione algebrica, supponiamo di grado $n$. La strada più 'saggia' non è forse quella di esaminare tutte le soluzioni [se esistono...] dell'equazione, ove con 'tutte' si intendono le soluzioni reali [positive come negative...] e complesse e poi verificare quali di esse risolvono il problema?... Ora perchè lo stesso criterio non può essere usato con le equazioni differenziali?... La risposta a queta ultima domanda mi pare di una ovvietà tale da non richiedere ulteriori 'approfondimenti'... si può dire anzi che è una domanda che contiene in sè stessa la risposta ...
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
] denota vivace intelligenza e merita una risposta 'adeguata'... Consideriamo il caso in cui la soluzione di un problema è legata alla soluzione di una equazione algebrica, supponiamo di grado $n$. La strada più 'saggia' non è forse quella di esaminare tutte le soluzioni [se esistono...] dell'equazione, ove con 'tutte' si intendono le soluzioni reali [positive come negative...] e complesse e poi verificare quali di esse risolvono il problema?... Ora perchè lo stesso criterio non può essere usato con le equazioni differenziali?... La risposta a queta ultima domanda mi pare di una ovvietà tale da non richiedere ulteriori 'approfondimenti'... si può dire anzi che è una domanda che contiene in sè stessa la risposta ...
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Le equazioni differenziali sono ben diverse dalle equazioni algebriche. Se non altro perchè il Teorema fondamentale dell'algebra è vero sempre, mentre non sempre un'equazione differenziale ammette soluzione.
Entrando più nel dettaglio va detto che la Teoria delle equazioni ordinarie non è centrata sulla risoluzione esplicita (che molto raramente nelle applicazioni si può fare), bensì su esistenza ed unicità della soluzione. Ben inteso che tutto ciò si fa e si studia seguendo la teoria classica, ovvero cercando funzioni come soluzioni e non relazioni polidrome. Questa non è fissazione con il formalismo solo per matematici, ma è come la teoria oggi è presentata in un corso di Analisi in tutto il mondo, ed è presentata in questo modo proprio perchè è conveniente saperla così per le applicazioni della Matematica.
Lupo grigio, mi sa che sei rimasto a Fourier che credeva che tutte le funzioni fossero sviluppabili in serie di potenze... guarda che l'Analisi ha fatto dei progressi da Fourier a oggi, e per fortuna, se no probabilmente tu oggi non faresti il lavoro che stai facendo.
Entrando più nel dettaglio va detto che la Teoria delle equazioni ordinarie non è centrata sulla risoluzione esplicita (che molto raramente nelle applicazioni si può fare), bensì su esistenza ed unicità della soluzione. Ben inteso che tutto ciò si fa e si studia seguendo la teoria classica, ovvero cercando funzioni come soluzioni e non relazioni polidrome. Questa non è fissazione con il formalismo solo per matematici, ma è come la teoria oggi è presentata in un corso di Analisi in tutto il mondo, ed è presentata in questo modo proprio perchè è conveniente saperla così per le applicazioni della Matematica.
Lupo grigio, mi sa che sei rimasto a Fourier che credeva che tutte le funzioni fossero sviluppabili in serie di potenze... guarda che l'Analisi ha fatto dei progressi da Fourier a oggi, e per fortuna, se no probabilmente tu oggi non faresti il lavoro che stai facendo.
Da 'bestia selvatica' che sono [e oltretutto una 'bestia' che deve cacciare per sopravvivere...] non amo molto le questioni 'filosofiche' e mi auguro che voi 'umani' mi perdoniate per questo... 
Venendo dunque all'aspetto 'terra-terra' della cosa, esaminiamo il caso in cui a un 'poveretto' condannato a morte sia offerta la grazia se riesce a trovare la soluzione ad un problema espresso dall'equazione $y'=x/(2*y^3)$ con la condizione $y(0)=0$...
Nel caso il 'poveretto' disperato si rivolga a 'tizio', questi gli dirà che il problema, posto a quelle condizioni, non ammette soluzione e che pertanto la cosa migliore è che cominci a pregare l'Onnipotente. Nel caso il 'poveretto', sempre disperato, si rivolga invece a 'caio', questi gli dirà che il problema ammette più soluzioni e che la scelta di quale sia la soluzione 'vera' dipende dalla conoscenza di altri dati che dovrà affrettarsi ad ottenere [non importa in che modo...
] se vuole salva la vita...
Ebbene, se uno di voi fosse il condannato, quale dei due 'consiglieri' apprezzerebbe di più?... tizio oppure caio?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Venendo dunque all'aspetto 'terra-terra' della cosa, esaminiamo il caso in cui a un 'poveretto' condannato a morte sia offerta la grazia se riesce a trovare la soluzione ad un problema espresso dall'equazione $y'=x/(2*y^3)$ con la condizione $y(0)=0$...
Nel caso il 'poveretto' disperato si rivolga a 'tizio', questi gli dirà che il problema, posto a quelle condizioni, non ammette soluzione e che pertanto la cosa migliore è che cominci a pregare l'Onnipotente. Nel caso il 'poveretto', sempre disperato, si rivolga invece a 'caio', questi gli dirà che il problema ammette più soluzioni e che la scelta di quale sia la soluzione 'vera' dipende dalla conoscenza di altri dati che dovrà affrettarsi ad ottenere [non importa in che modo...
] se vuole salva la vita...Ebbene, se uno di voi fosse il condannato, quale dei due 'consiglieri' apprezzerebbe di più?... tizio oppure caio?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Chiedo scusa al prof. Patrone per quanto gli è stato scritto su questo forum.
Mi auguro che torni a frequentare la nostra comunità perché vedo che il suo contributo, oltre che essere ovviamente autorevole, è prezioso per tanti giovani appassionati di matematica, i quali hanno ricevuto dal prof. Patrone indicazioni chiare, preziose, gratuite, dette con onestà e benevolenza.
Antonio Bernardo
Mi auguro che torni a frequentare la nostra comunità perché vedo che il suo contributo, oltre che essere ovviamente autorevole, è prezioso per tanti giovani appassionati di matematica, i quali hanno ricevuto dal prof. Patrone indicazioni chiare, preziose, gratuite, dette con onestà e benevolenza.
Antonio Bernardo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo