Banale curiosità
data una funzione $f : x \rightarrow f(x)$ se costruisco il rapporto incrementale $\frac {\Delta y}{\Delta x}$ della funzione data e passo al limite per $\Delta x \rightarrow 0$ ottengo la derivata prima della funzione in questione; se anzicchè passare al limite per $\Delta x \rightarrow 0$, faccio la derivata prima del rapporto incrementale, che cosa ottengo (ammesso che si apossibile derivare il rapporto incrementale)?
Risposte
Il rapporto inrementale è $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ con $h \in \mathbb{R}$, pertanto la derivata di 'sta roba vale
$\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}$
dove $f'(x) = \frac{d}{dx} f(x)$.
$\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}$
dove $f'(x) = \frac{d}{dx} f(x)$.
il risultato che hai dato vale nell'ipotesi che $h$ si un fissato valore reale tale che $\forall x \in \mathbb{R}$ allora $x+h \in D$ dove $D$ è il dominio della funzione e $h$ è, quindi, una costante?
se sì, il risultato cambierebbe se si considerasse $x$ costante e $h$ variabile entro un certo intervallo $[a;b]$ in modo che $\forall h \in [a;b]$ si abbia $x+h \in D$, cioè se si derivasse rispetto a $h$?
se sì, il risultato cambierebbe se si considerasse $x$ costante e $h$ variabile entro un certo intervallo $[a;b]$ in modo che $\forall h \in [a;b]$ si abbia $x+h \in D$, cioè se si derivasse rispetto a $h$?
sia $f:\RR -> \RR$
dati $x,h \in \RR$ l'espressione $R(x,h) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ denota il rapporto incrementale (di $f$, calcolato "a partire dal punto $x$" e con un incremento pari ad $h$)
ovviamente $R$ è una funzione di due variabili
se supponiamo, per semplicità, che $f$ sia derivabile su tutto $\RR$, allora la funzione $R$ è parzialmente derivabile rispetto sia ad $x$ che ad $h$ (perché?) per ogni $(x,h)$ tale che $h \ne 0$ e le sue derivate parziali sono...
dati $x,h \in \RR$ l'espressione $R(x,h) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ denota il rapporto incrementale (di $f$, calcolato "a partire dal punto $x$" e con un incremento pari ad $h$)
ovviamente $R$ è una funzione di due variabili
se supponiamo, per semplicità, che $f$ sia derivabile su tutto $\RR$, allora la funzione $R$ è parzialmente derivabile rispetto sia ad $x$ che ad $h$ (perché?) per ogni $(x,h)$ tale che $h \ne 0$ e le sue derivate parziali sono...
per fioravante...sono all'ultimo anno di liceo: ergo il tuo discorso per me è oscuro
proviamo a schiarirlo
la derivata parziale di $R$ rispetto ad $x$ non consiste in altro che alla derivata fatta tenendo fisso $h$ (trattandolo come parametro)
idem per la derivata parziale rispetto ad $h$ tieni fisso il parametro $x$ e consideri la funzione della sola variabile $h$, di cui calcoli la derivata
provaci (se vuoi)
PS: ma se sei del liceo, perché posti nella sezione Università?
la derivata parziale di $R$ rispetto ad $x$ non consiste in altro che alla derivata fatta tenendo fisso $h$ (trattandolo come parametro)
idem per la derivata parziale rispetto ad $h$ tieni fisso il parametro $x$ e consideri la funzione della sola variabile $h$, di cui calcoli la derivata
provaci (se vuoi)
PS: ma se sei del liceo, perché posti nella sezione Università?
so che non è questa la sezione che mi compete per postare dato che non faccio l'univeristà, ma è leggendo dei compiti di esonero universitari che mi so venuti sti dubbi....
non è che "non ti compete", è solo una questione di opportunità. La mia risposta era data presupponendo che tu queste cose grosso modo le sapessi
Comunque, dovresti essere in grado di cavartela. Attendo con impazienza che tu scriva quanto vengono le due derivate parziali!
Comunque, dovresti essere in grado di cavartela. Attendo con impazienza che tu scriva quanto vengono le due derivate parziali!
provo io vediamo se va.....
mantenedo $h$ costante e derivando rispetto a $x$ mi viene
$\frac{1}{h} [\frac{d}{dx}f(x,h) - \frac{d}{dx}f(x)]$
mantenendo $x$ costante e derivando rispetto a $h$ mi viene
$\frac{h \cdot \frac{d}{dh}f(x,h) - f(x,h) + f(x)}{h^2}$
mmmm...giusto?
mantenedo $h$ costante e derivando rispetto a $x$ mi viene
$\frac{1}{h} [\frac{d}{dx}f(x,h) - \frac{d}{dx}f(x)]$
mantenendo $x$ costante e derivando rispetto a $h$ mi viene
$\frac{h \cdot \frac{d}{dh}f(x,h) - f(x,h) + f(x)}{h^2}$
mmmm...giusto?
"WiZaRd":
provo io vediamo se va.....
quasi...
c'è un errore comune: hai $f(x+h)$, non $f(x,h)$ (oltretutto, $f$ è una funzione di una variabile e quindi non ha neanche senso scrivere $f(x,h)$)
"WiZaRd":
mantenedo $h$ costante e derivando rispetto a $x$ mi viene
$\frac{1}{h} [\frac{d}{dx}f(x,h) - \frac{d}{dx}f(x)]$
$\frac{1}{h} [\frac{d}{dx}f(x+h) - \frac{d}{dx}f(x)] = \frac{1}{h} [f'(x+h) - f'(x)]$
Chiarisco che con $f'(x+h)$ intendo la derivata prima di $f$ calcolata nel punto $x+h$
"WiZaRd":
mantenendo $x$ costante e derivando rispetto a $h$ mi viene
$\frac{h \cdot \frac{d}{dh}f(x,h) - f(x,h) + f(x)}{h^2}$
mmmm...giusto?
$\frac{h \cdot \frac{d}{dh}f(x+h) - f(x+h) + f(x)}{h^2} = \frac{h \cdot f'(x+h) - f(x+h) + f(x)}{h^2}$
NB: ho corretto qui sopra l'errore segnalato da WiZaRd nel post successivo
PS: un complimento per il modo pulito con cui scrivi le formule!
ti ringrazio per il complimento
ora, non lo so se mi sto flesciando però se mi dici che c'ho $f(x+h)$ (e ne sono convinto) allora dovrei avere
$\frac {h \cdot f'(x+h) - f(x+h) + f(x)}{h^2}$
giusto?
un'altra cosa: dunque per la funzione $R(x,h)$ si parla di derivate parziali più che di derivata "totale" o manco ancora qualche cosa?
ora, non lo so se mi sto flesciando però se mi dici che c'ho $f(x+h)$ (e ne sono convinto) allora dovrei avere
$\frac {h \cdot f'(x+h) - f(x+h) + f(x)}{h^2}$
giusto?
un'altra cosa: dunque per la funzione $R(x,h)$ si parla di derivate parziali più che di derivata "totale" o manco ancora qualche cosa?
"WiZaRd":
ti ringrazio per il complimento
ora, non voglio correggerti però se mi dici che co $f(x+h)$ (e ne sono convinto) allora dovrei avere
$\frac {h \cdot f'(x+h) - f(x+h) + f(x)}{h^2}$
giusto?
giusto, certo!!!
correggo anche sopra
"WiZaRd":
un'altra cosa: dunque per la funzione $R(x,h)$ si parla di derivate parziali più che di derivata "totlae" o manco ancora qualche cosa?
certo che le derivate parizali hanno senso
quanto alla derivata "totale", parlare di "derivata totale" con me è come agitare un panno rosso davanti a un toro
se vuoi la mia opinione leggi qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 923#108923
quindi per ottenere una eventuale derivata totale di $R(x,h)$ qualcuno mi dovrebbe dare $h=h(t)$ e $x=x(t)$ per riscrivere tutto come funzione di $t$ e in fine derivare rispetto a questa? 
sì, questo è un modo civile di esprimersi
ok...grazie per la pazienza...e permettimi di restituirti il complimento, perchè, devo essere onesto, spieghi le cose con molta chiarezza 
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