Banach–Steinhaus
Ci sono alcune cose di 2.5 F.A. di Rudin che vorrei chiarire. Perché \(W,U\) devono essere bilanciati e perché si utilizza la chiusura dell'ultimo? Ripercorro la dimostrazione: per trovare \(U,W\) bilanciati tali che \(2U^{-}\subset W\) utilizzo 1.10 e 1.11. Se \(x \in B\) allora esiste \(s>0\) t.c. \(\Gamma(x)\subset t U\) per ogni \(t>s\) quindi anche per \([t+1]=n\) e segue:
\[
\begin{split}
\Gamma(x)&\subset n U \\
\Gamma(x)&\subset (n U)^{-}=nU^{-[1]} \\
\forall \alpha, x \in f_{\alpha}^{-1}(\Gamma(x))&\subset f_{\alpha}^{-1}(nU^{-}) \\
&=n f_{\alpha}^{-1}(U^{-})^{[2]} \\
x \in \cap_{\alpha}f_{\alpha}^{-1}(\Gamma(x))&\subset\cap_{\alpha} n f_{\alpha}^{-1}(U^{-}) \\
&=n\cap_{\alpha} f_{\alpha}^{-1}(U^{-}) \\
&=n E
\end{split}
\]
La [1] per la continuità del prodotto e la [2] per la linearità. Fino a qui non ho utilizzato ne bilanciatezza ne la chiusura di \(U\) mi sembra, nel senso che avrei potuto fare senza. Da ciò si vede che \(B\subset \cup_{n}nE\) sui naturali \(n\). Siccome \(B\) è di seconda categoria da \(B=\cup_{n}(B\cap nE)\) deve seguire per un qualche \(n\) che \(\emptyset \neq \mbox{int}((B\cap nE)^{-})\subset \mbox{int}(nE^{-})\).
E' chiaro che due insiemi omeomorfi come \(E\) ed \(nE\) hanno la stessa categoria. In particolare dovrebbe essere \(\mbox{int}(E^{-})\neq \emptyset\) e siccome \(E\) è l'intersezione della retroimmagine di chiusi vale pure \(\mbox{int}(E)\neq \emptyset\) (ok, mi sono appena accorto che qui si utilizza la chiusura di \(U\)). Non essendo l'interno vuoto esso contiene un punto \(x\) etc...
Le ultime righe della dimostrazione sono immediate, si usa la linearità e si richiama un teorema precedente. Ora, come accidenti uso il fatto che \(tU\subset U\) con \(|t|\leq 1\)?
In genere con \(t\) grande si usa che \(U\subset t U\) ovvero \((1/t) U\subset U\) dato che \(1/t\leq 1\).
\[
\begin{split}
\Gamma(x)&\subset n U \\
\Gamma(x)&\subset (n U)^{-}=nU^{-[1]} \\
\forall \alpha, x \in f_{\alpha}^{-1}(\Gamma(x))&\subset f_{\alpha}^{-1}(nU^{-}) \\
&=n f_{\alpha}^{-1}(U^{-})^{[2]} \\
x \in \cap_{\alpha}f_{\alpha}^{-1}(\Gamma(x))&\subset\cap_{\alpha} n f_{\alpha}^{-1}(U^{-}) \\
&=n\cap_{\alpha} f_{\alpha}^{-1}(U^{-}) \\
&=n E
\end{split}
\]
La [1] per la continuità del prodotto e la [2] per la linearità. Fino a qui non ho utilizzato ne bilanciatezza ne la chiusura di \(U\) mi sembra, nel senso che avrei potuto fare senza. Da ciò si vede che \(B\subset \cup_{n}nE\) sui naturali \(n\). Siccome \(B\) è di seconda categoria da \(B=\cup_{n}(B\cap nE)\) deve seguire per un qualche \(n\) che \(\emptyset \neq \mbox{int}((B\cap nE)^{-})\subset \mbox{int}(nE^{-})\).
E' chiaro che due insiemi omeomorfi come \(E\) ed \(nE\) hanno la stessa categoria. In particolare dovrebbe essere \(\mbox{int}(E^{-})\neq \emptyset\) e siccome \(E\) è l'intersezione della retroimmagine di chiusi vale pure \(\mbox{int}(E)\neq \emptyset\) (ok, mi sono appena accorto che qui si utilizza la chiusura di \(U\)). Non essendo l'interno vuoto esso contiene un punto \(x\) etc...
Le ultime righe della dimostrazione sono immediate, si usa la linearità e si richiama un teorema precedente. Ora, come accidenti uso il fatto che \(tU\subset U\) con \(|t|\leq 1\)?
In genere con \(t\) grande si usa che \(U\subset t U\) ovvero \((1/t) U\subset U\) dato che \(1/t\leq 1\).
Risposte
gasp
Ho dato uno sguardo a Rudin per curiosità (non è che è un libro che conosco) e azzardo un'ipotesi sulla necessità della bilanciatezza di $ U $ nella dimostrazione.
Verso la fine della dimostrazione c'è scritto:
$ Lambda (V)sub Lambda x-Lambda (E)sub bar(U)-bar(U)sub W $ .
Beh, è quel $ bar(U)-bar(U) $ che mi insospettisce,quel segno meno, mi sa che lì si usa la bilanciatezza di $ U $ per far sì che $ bar(U) -bar(U) $ sia incluso in $ W $ .
Mi spiego. Per ipotesi $ bar(U)+bar(U)sub W. $
Per definizione $ bar(U)-bar(U)= { x-y | x in barU ,yin bar(U) } $ ,
se U è bilanciato appartiene a U anche $ -y $ , e quindi ci possimo ricondurre al caso $ bar(U)+bar(U) sub W $ .
Spero di essermi spiegata non troppo da cani.
Per la bilanciatezza di $ W $ , non lo so, mi sembra che non serve a un fico secco, ma suppongo che abbia ragione Rudin...
Verso la fine della dimostrazione c'è scritto:
$ Lambda (V)sub Lambda x-Lambda (E)sub bar(U)-bar(U)sub W $ .
Beh, è quel $ bar(U)-bar(U) $ che mi insospettisce,quel segno meno, mi sa che lì si usa la bilanciatezza di $ U $ per far sì che $ bar(U) -bar(U) $ sia incluso in $ W $ .
Mi spiego. Per ipotesi $ bar(U)+bar(U)sub W. $
Per definizione $ bar(U)-bar(U)= { x-y | x in barU ,yin bar(U) } $ ,
se U è bilanciato appartiene a U anche $ -y $ , e quindi ci possimo ricondurre al caso $ bar(U)+bar(U) sub W $ .
Spero di essermi spiegata non troppo da cani.
Per la bilanciatezza di $ W $ , non lo so, mi sembra che non serve a un fico secco, ma suppongo che abbia ragione Rudin...
Edit così è più chiaro: (1.10) dato \(W\ni 0\) esiste \(U\) simmetrico (\(U=-U\)) t.c. \(0 \in U\subset W\) e che \(U+U\subset W\). Data una base di \(0\) esiste \(V\) elemento della base tale che \(V^{-}\subset U\)(1.11) . Pongo \(K=V^{-}\cap (-V^{-})\) e con \(O=\mbox{int}(K)\) vale \(O^{-}=-O^{-}\) e \(O^{-}-O^{-}\subset W\), dove la mia \(O\) qui è la \(U\) precedente. Come vedi, non ho richiesto la bilanciatezza.
Capisco quello che dici (tra l'altro spero che abbiamo la stessa edizione di Rudin, io ho la seconda), però Rudin nella dimostrazione di Banach-Steinhaus non mi sembra che si rifaccia alle due proposizioni 1.10 e 1.11, altrimenti le avrebbe richiamate, penso che usa solo la bilanciatezza. Probabilmente quello che dici è un modo diverso di dimostrare il teorema senza usare la bilanciatezza, vorrei riguardare il tutto con calma appena ho un attimo di tempo.
Anche io ho la seconda, made in India 
Vai tranquilla, è uno curiosità e nel caso posso sempre esporla al professore.
Vai tranquilla, è uno curiosità e nel caso posso sempre esporla al professore.
La riguardo perché mi interessa capire, nel caso avessi lumi, se ti va, mi fa piacere saperlo. Grazie!
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