Autovalore

[20021991]

Salve, devo risolvere questa equazione con il metodo delle avriabili separabili:



Risolvo prima $X''= lambda X=0 $ e ottengo come autovalori $ lambda=0 $ e $ lambda=(n pi /2)^2 $

Per $ lambda=0 $ la soluzione dovrebbe essere del tipo $ X=Ax + B $ . Sostituendo le condizioni al bordo, ottengo A=0 e B arbitrario. La soluzione allora è del tipo $ X=B $ ma come faccio a esprimere B? Essendo abitrario posso dargli un valore qualsiasi? Nella soluzione, come autofunzione associata a $lambda=0$ prende $X=1$.

Prende 1 arbitrariamente o c'è un motivo particolare?

[gugo82]

Separando le variabili spaziale e temporale, i.e. cercando soluzioni nella forma \(u(x,t)=X(x)\ T(t)\), si trova:
\[
X(x)\ \ddot{T}(t) - 9\ X^{\prime \prime} (x)\ T(t)=0
\]
da cui, supponendo \(X(x)\neq 0\neq T(t)\), si ottiene:
\[
\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)}=9\ \frac{X^{\prime \prime} (x)}{X(x)}
\]
ed introducendo la costante di separazione \(-\lambda\), dalla precedente discendono le due equazioni:
\[
X^{\prime \prime} (x) +\frac{\lambda}{9}\ X(x) =0 \qquad \text{e}\qquad \ddot{T}(t) +\lambda\ T(t)=0\; .
\]

[gugo82]

Ho fatto un po' di conticini e, devo dire, che il problema non mi sembra risolvibile, perché vi è incompatibilità tra i dati... Ma magari sbaglio, quindi metto i conti in spoiler.

Invero, facendo un po' di calcoli semplici, si vede che la \(u(x,t)\) si può esprimere in serie di Fourier del tipo:
\[
u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \left( A_n\ \cos \omega n x + B_n\ \sin \omega n x\right)\ \left( C_n\ \cos 3 \omega n t + D_n\ \sin 3 \omega n t\right)
\]
con \(A_n,B_n,C_n,D_n\in \mathbb{R}\) ed \(\omega >0\).
Ora, le condizioni al bordo \(u_x(0,t)=0=u_x(2,t)\) importano immediatamente:
\[
\omega = \frac{\pi}{2} \qquad \text{e} \qquad \forall n\in \mathbb{N},\ B_n =0\; ,
\]
sicché la soluzione è del tipo:
\[
u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \cos \frac{\pi}{2} n x\ \left( c_n\ \cos \frac{3\pi}{2} n t + d_n\ \sin \frac{3\pi}{2} n t\right)
\]
ove le nuove costanti \(c_n,d_n\) incorporano la \(A_n\).
Dato che:
\[
u(x,0) = \sum_{n=0}^\infty c_n\ \cos \frac{3\pi}{2} n x
\]
si vede che i \(c_n\) devono essere i coefficienti di Fourier del dato iniziale \(x\) in \([0,2]\), ossia:
\[
c_0=1 \qquad \text{e} \qquad \forall n\geq 1,\ c_n= \frac{4}{\pi^2 n^2}\ \Big( (-1)^n -1\Big)
\]
perciò:
\[
u(x,t) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \cos \frac{\pi}{2} n x\ \left( \frac{4}{\pi^2 n^2}\ \Big( (-1)^n -1\Big)\ \cos \frac{3\pi}{2} n t + d_n\ \sin \frac{3\pi}{2} n t\right)\; .
\]
Ma ora, derivando rispetto a \(t\), si trova:
\[
u_t(x,0) = \sum_{n=1}^\infty \frac{3\pi}{2} n\ d_n\ \cos \frac{\pi}{2} n x
\]
e questa dovrebbe essere la serie di Fourier del dato \(1+\cos \frac{\pi}{2} x\)... Ma ciò è assurdo!
Infatti nella somma a secondo membro non ci sono funzioni costanti e quindi recuperare quello \(1\) dalla somma della serie è impossibile.

***

Se non ci fosse quello \(1\), ossia se il dato iniziale fosse semplicemente \(u_t(x,0)=\cos \frac{\pi}{2} x\), sarebbe stato possibile risolvere il problema prendendo:
\[
d_1= \frac{2}{3\pi}\qquad \text{e} \qquad \forall n\geq 2,\ d_n=0\; ;
\]
in tal caso, insomma, la funzione:
\[
u(x,t) = 1 + \cos \frac{\pi}{2} x\ \left( - \frac{8}{\pi^2}\ \cos \frac{3\pi}{2} t + \frac{2}{3\pi} \sin \frac{3\pi}{2} t\right) + \sum_{n=2}^\infty \frac{4}{\pi^2 n^2}\ \Big( (-1)^n -1\Big)\ \cos \frac{\pi}{2} n x\ \cos \frac{3\pi}{2} n t
\]
sarebbe stata la soluzione del problema.