Automatica: dimostrare formula moto libero e forzato (formula Lagrange)
Salve,
dato una generico sistema dinamico lineare con una generica equazione di stato:
\(\displaystyle x'(t) = ax(t) + bu(t) \)
come faccio a dimostrare che la funzione \(\displaystyle x(t) = x_L(t) + x_F(t) \) è formata da una componente di moto libero:
\(\displaystyle x_L = e^{at} x_0 \)
e da una componente di moto forzato:
\(\displaystyle x_F(t) = \int_0^te^{a(t-\tau)} bu(\tau) d\tau \)
[size=65](Fonte: http://home.deib.polimi.it/rocco/leonardo/dispensa.pdf - pagina 24/188. Contiene un errore tra l'altro. Nel moto forzato la seconda equazione credo dovrebbe essere \(\displaystyle y_L \))[/size]
quando risolvendo l'equazione differenziali iniziale ottengo semplicemente:
\( \displaystyle x'(t) - ax(t) = b u(t) \)
\(\displaystyle x'(t) e^{-at} - a x(t) e^{-at} = b u(t) e^{-at} \)
\(\displaystyle \frac{d}{dt} x e^{-at} = b u(t) e^{-at} \)
\(\displaystyle x = be^{at} \int u(t) e^{-at} dt \)
Non saprei da quest'ultima equazione come ottenere la somma dei due tipi di moto o quantomento come risolvere l'integrale dato che non conosco quale sia la funzione \(\displaystyle u(t) \)
(Posto qui perché la domanda è affine all'analisi piuttosto che automatica, se ho sbagliato spostate pure.)
dato una generico sistema dinamico lineare con una generica equazione di stato:
\(\displaystyle x'(t) = ax(t) + bu(t) \)
come faccio a dimostrare che la funzione \(\displaystyle x(t) = x_L(t) + x_F(t) \) è formata da una componente di moto libero:
\(\displaystyle x_L = e^{at} x_0 \)
e da una componente di moto forzato:
\(\displaystyle x_F(t) = \int_0^te^{a(t-\tau)} bu(\tau) d\tau \)
[size=65](Fonte: http://home.deib.polimi.it/rocco/leonardo/dispensa.pdf - pagina 24/188. Contiene un errore tra l'altro. Nel moto forzato la seconda equazione credo dovrebbe essere \(\displaystyle y_L \))[/size]
quando risolvendo l'equazione differenziali iniziale ottengo semplicemente:
\( \displaystyle x'(t) - ax(t) = b u(t) \)
\(\displaystyle x'(t) e^{-at} - a x(t) e^{-at} = b u(t) e^{-at} \)
\(\displaystyle \frac{d}{dt} x e^{-at} = b u(t) e^{-at} \)
\(\displaystyle x = be^{at} \int u(t) e^{-at} dt \)
Non saprei da quest'ultima equazione come ottenere la somma dei due tipi di moto o quantomento come risolvere l'integrale dato che non conosco quale sia la funzione \(\displaystyle u(t) \)
(Posto qui perché la domanda è affine all'analisi piuttosto che automatica, se ho sbagliato spostate pure.)
Risposte
Nessuna idea?
Ci ho messo una vita ma alla fine ho capito che il movimento libero si trova semplicemente ponendo \(\displaystyle u(t)=0 \)
Il movimento forzato si trova risolvendo l'equazione
\( \displaystyle \frac{d}{dt} x(t)e^{-at} = b u(t) e^{-at} \)
con la funzione integrale, non con la primitiva come ho fatto io primitiva
\( \displaystyle x(t) = e^{at} \int_0^t bu(\tau) e^{-a\tau} d\tau \)
ora ci accorgiamo che nel contesto dell'integrale, \(\displaystyle e^{at} \), è una costante pertanto si può portare fuori o dentro senza problemi:
\( \displaystyle x(t) = \int_0^te^{a(t-\tau)} bu(\tau) d\tau \)
Non mi è ancora del tutto chiaro come mai il movimento completo sia la somma tra quello forzato e quello libero.
Il movimento forzato si trova risolvendo l'equazione
\( \displaystyle \frac{d}{dt} x(t)e^{-at} = b u(t) e^{-at} \)
con la funzione integrale, non con la primitiva come ho fatto io primitiva
\( \displaystyle x(t) = e^{at} \int_0^t bu(\tau) e^{-a\tau} d\tau \)
ora ci accorgiamo che nel contesto dell'integrale, \(\displaystyle e^{at} \), è una costante pertanto si può portare fuori o dentro senza problemi:
\( \displaystyle x(t) = \int_0^te^{a(t-\tau)} bu(\tau) d\tau \)
Non mi è ancora del tutto chiaro come mai il movimento completo sia la somma tra quello forzato e quello libero.
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