Attrattori e punti di equilibrio

[mastro871]

ho un dubbio, se un punto di equilibrio è asintoticamente stabile, sarà sempre un attrattore ?
è valido anche il contrario ?

[Rigel1]

Poiché la nomenclatura non è universale, se vuoi una risposta sensata dovresti riportare le definizioni di stabilità asintotica e attrattività che usi.

[Covenant]

Nei sistemi lineari stabilità e attrattività sono concetti fortemente legati:
se un punto è attrattivo questo implica la sua stabilità, in particolare stabilità asintotica. In altre parole, affinchè un punto sia attrattivo tutti gli autovalori della matrice dei coefficienti devono avere parte reale strettamente minore di 0. La semplice stabilità non implica l'attrattività.

Diverso è il discorso nei sistemi dinamici non lineari. Qui i due concetti sono abbastanza slegati. In particolare possono esistere punti (o anche insiemi compatti) attrattori non stabili, ad esempio quelli interessati da orbite omocline. Se un punto (o un compatto) è un attrattore ed è stabile, allora esso è asintoticamente stabile.

[mastro871]

Scusatemi se non sono stato preciso,e grazie per le risposte.
Sto studiando la stabilità lineare dei sistemi dinamici, la definizione di stabilità asintotica è :"Un punto di equilibrio,Ue, è asintoticamente stabile se esiste un intorno De, tale che $\forall U(0) \in De $, $\lim_{t \to \infty} ||U(t)-Ue|| =0$ ", poi enunciando il teorema di stabilità lineare che dice che la natura del punto di equilibrio dipende dal segno degli autovalori della matrice jacobiana, e parlando del caso in cui siano tutti strettamente minori di 0, quando il punto è asintoticamente stabile, il prof ha detto che in questo caso il punto è anche un attrattore.
Non ha approfondito più di tanto con l'argomento, io volevo sapere se queste due definizioni erano collegate o meno e in che modo. Ringrazio ancora Rigel e Covenant per le risposte.

[Covenant]

"mastro871":Scusatemi se non sono stato preciso,e grazie per le risposte.
Sto studiando la stabilità lineare dei sistemi dinamici, la definizione di stabilità asintotica è :"Un punto di equilibrio,Ue, è asintoticamente stabile se esiste un intorno De, tale che $\forall U(0) \in De $, $\lim_{t \to \infty} ||U(t)-Ue|| =0$ ", poi enunciando il teorema di stabilità lineare che dice che la natura del punto di equilibrio dipende dal segno degli autovalori della matrice jacobiana, e parlando del caso in cui siano tutti strettamente minori di 0, quando il punto è asintoticamente stabile, il prof ha detto che in questo caso il punto è anche un attrattore.
Non ha approfondito più di tanto con l'argomento, io volevo sapere se queste due definizioni erano collegate o meno e in che modo. Ringrazio ancora Rigel e Covenant per le risposte.

Ok, quindi stai studiando la stabilità di sistemi non lineari linearizzandoli attorno ad un punto di equilibrio tramite la matrice Jacobiana. Visto che il sistema che ti trovi a studiare è quindi lineare, è vero che un punto d'equilibrio asintoticamente stabile è anche un attrattore. Esiste un noto teorema che afferma che un sistema non lineare e il suo linearizzato attorno ad un punto di equilibrio iperbolico sono coniugati. In soldoni, il sistema non lineare ha localmente lo stesso comportamento del linearizzato. In particolare se il punto risulta asintoticamente stabile allora esso sarà un attrattore anche per il sistema non lineare. Ricorda sempre che linearizzando trovi soltanto informazioni locali e inoltre non puoi trovare tutti gli eventuali attrattori del sistema non lineare. Come detto nel post precedente, per i sistemi non lineari esistono infatti attrattori che sono punti non stabili e che quindi evidentemente non possono essere attrattivi per il sistema linearizzato.