Assoluta convergenza di una serie
Come da titolo, in una serie, in quale caso è necessario studiare l'assoluta convergenza???
Nel caso in cui il parametro x può assumere valore nel campo dei reali bisogna studiare l'assoluta convergenza, però in certi casi non serve ad esempio quando la $x$ è compresa nel valore assoluto oppure nel caso in cui si ha $x^(2n)$, perchè so certamente che la $x$ è >0... giusto???
Nel caso in cui il parametro x può assumere valore nel campo dei reali bisogna studiare l'assoluta convergenza, però in certi casi non serve ad esempio quando la $x$ è compresa nel valore assoluto oppure nel caso in cui si ha $x^(2n)$, perchè so certamente che la $x$ è >0... giusto???
Risposte
L'assoluta convergenza va studiata quando la serie non è a termini positivi, ma a termini casuali o alternati.
Se per esempio hai una serie del tipo: $sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n (n)$ puoi studiarla in valore assoluto.
Cioè invece di studiare $sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n (n)$ , studi la serie in valore assoluto $sum_(n = 0)^(+oo) |n| $; con tutti i metodi che conosci (Criterio del rapporto, della radice, dell'ordine di infinitesimo,dell'integrale ecc.).
In realtà, in molti casi, si tratta di serie a segni alterni.
Anche la serie a cui mi riferivo prima è una serie a segni alterni.
Infatti se provi a sostituire $n=0, n=1, n=2, n=3...$ ti renderai conto che ottieni segni alternati $(+,-,+,-,+....)$.
Per questo particolare tipo di serie puoi usare il criterio di Leibniz, invece dello studio in valore assoluto.
Questo criterio ti dice che:
data una serie a segni alternati : $sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n an$;
La serie, sicuramente, converge, se:
1) $lim_(n -> +oo) (an) = 0 $
2) $an$ è decrescente, cioè: $AA n in NN : an > an+1$
Se queste ipotesi NON vengono verificate, allora puoi dire che diverge..
Quando però hai logaritmi,oppure seni o coseni, conviene studiare in valore assoluto.
Ciao.
Se per esempio hai una serie del tipo: $sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n (n)$ puoi studiarla in valore assoluto.
Cioè invece di studiare $sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n (n)$ , studi la serie in valore assoluto $sum_(n = 0)^(+oo) |n| $; con tutti i metodi che conosci (Criterio del rapporto, della radice, dell'ordine di infinitesimo,dell'integrale ecc.).
In realtà, in molti casi, si tratta di serie a segni alterni.
Anche la serie a cui mi riferivo prima è una serie a segni alterni.
Infatti se provi a sostituire $n=0, n=1, n=2, n=3...$ ti renderai conto che ottieni segni alternati $(+,-,+,-,+....)$.
Per questo particolare tipo di serie puoi usare il criterio di Leibniz, invece dello studio in valore assoluto.
Questo criterio ti dice che:
data una serie a segni alternati : $sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n an$;
La serie, sicuramente, converge, se:
1) $lim_(n -> +oo) (an) = 0 $
2) $an$ è decrescente, cioè: $AA n in NN : an > an+1$
Se queste ipotesi NON vengono verificate, allora puoi dire che diverge..
Quando però hai logaritmi,oppure seni o coseni, conviene studiare in valore assoluto.
Ciao.
"Supremo_king":
Se queste ipotesi NON vengono verificate, allora puoi dire che diverge..
"Supremo_king":
Se queste ipotesi NON vengono verificate, allora puoi dire che diverge..
Quando però hai logaritmi,oppure seni o coseni, conviene studiare in valore assoluto.
Nel caso non fossero verificate le due condizioni io sapevo che si potesse dire solamente che la serie NON converge, ma non che diverge...
Invece nel caso in cui ho la $x$ insieme a logaritmi, o funzioni trigonometriche devo studiarmi l'assoluta convergenza, non è necessario negli altri casi, giusto?
Ad esempio in questo caso $sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{(n+1)^2(4^(x+1))^n$ con $x in RR$
So che l'esponente è sempre $>0$ quindi è solo una serie a termini positivi...
Se i termini della serie sono non negativi, controllare la convergenza assoluta è "inutile" perché $|a_n|=a_n$ se $a_n>=0 \forall n$ naturale come nell'ultimo esempio.
"Spaghetto":
[quote="Supremo_king"]
Se queste ipotesi NON vengono verificate, allora puoi dire che diverge..
Quando però hai logaritmi,oppure seni o coseni, conviene studiare in valore assoluto.
Nel caso non fossero verificate le due condizioni io sapevo che si potesse dire solamente che la serie NON converge, ma non che diverge...
[/quote]
[mod="Fioravante Patrone"]Vi studiate la differenza tra condizioni necessarie e condizioni sufficienti? O devo chiudere questo thread per eccesso di scorrettezze matematiche?[/mod]
"Fioravante Patrone":
[quote="Spaghetto"][quote="Supremo_king"]
Se queste ipotesi NON vengono verificate, allora puoi dire che diverge..
Quando però hai logaritmi,oppure seni o coseni, conviene studiare in valore assoluto.
Nel caso non fossero verificate le due condizioni io sapevo che si potesse dire solamente che la serie NON converge, ma non che diverge...
[/quote]
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Cosa ho detto di sbagliato???
Perchè secondo tale criterio se una successione {an} è decrescente e il suo limite è 0, allora la serie $\sum (-1)^n a_n$ converge. Cioè la decrescenza e il limite pari a zero non è una condizione necessaria alla convergenza, ma sufficiente.
http://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione
http://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione
Con diverge intendevo dire che non converge semplicemente. quindi o diverge o è indeterminata.
Ma dai...
Perchè non spiegate i motivi per cui criticate le risposte degli altri??? ed inserite solo delle misere ed insignificanti faccine ironiche, banali ed infantili?
Ma dai...
Perchè non spiegate i motivi per cui criticate le risposte degli altri??? ed inserite solo delle misere ed insignificanti faccine ironiche, banali ed infantili?
"Supremo_king":
Con diverge intendevo dire che non converge semplicemente. quindi o diverge o è indeterminata.
Quindi fammi capire Supremo_king, io ho questa serie
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$
dove
$a_n={(\frac{1}{n^2}" se "n" è pari"),(\frac{1}{n^4}" se "n" è dispari"):}$
La serie (1) non verifica le ipotesi del teorema di Leibniz, perchè non è definitivamente decrescente, diverge o è indeterminata?
E' chiaro ora l'errore? Fioravante ha solo cercato di farti riflettere...non ti arrabbiare! E poi si sa che lui è cattivissimo!
Se i maestri per far capire l'errore ai loro allievi, facessero tutti così, be siamo apposto!!!!
E poi ci si chiede perchè la scuola italiana va a rotoli.
Fortunatamente non sono tutti così..ci sono anche persone come cirasa che almeno cercano di farti capire perchè sbagli.!
Comunque qualcuno che mi spieghi cosa ho sbagliato qui: https://www.matematicamente.it/forum/il- ... 78-50.html
dal momento che mi è stato detto di dire sciocchezze dallo stesso admin...
E comunque il criterio che ho esposto era esatto.
l'idea è che se non vengono verificate le ipotesi non possiamo dire che converge..stop.
Mi sono espresso male, anzi malissimo, cadendo in errore, ma bastava avvisare subito, cosi modificavo e si evitava di andare OT.
E poi ci si chiede perchè la scuola italiana va a rotoli.
Fortunatamente non sono tutti così..ci sono anche persone come cirasa che almeno cercano di farti capire perchè sbagli.!
Comunque qualcuno che mi spieghi cosa ho sbagliato qui: https://www.matematicamente.it/forum/il- ... 78-50.html
dal momento che mi è stato detto di dire sciocchezze dallo stesso admin...
E comunque il criterio che ho esposto era esatto.
l'idea è che se non vengono verificate le ipotesi non possiamo dire che converge..stop.
Mi sono espresso male, anzi malissimo, cadendo in errore, ma bastava avvisare subito, cosi modificavo e si evitava di andare OT.
"Supremo_king":
Con diverge intendevo dire che non converge semplicemente. quindi o diverge o è indeterminata.
Ma dai...
Perchè non spiegate i motivi per cui criticate le risposte degli altri??? ed inserite solo delle misere ed insignificanti faccine ironiche, banali ed infantili?
E' falso. Come già notato prima.
Complimenti per la testardaggine. Studiare no? Riflettere? Ancora meno.
E niente faccine, stavolta.
ahahah..ma allora sto teorema non dice che converge, non dice che diverge, non dice che è indeterminato, non dice nulla...a che cosa serve????
Ripeto se le ipotesi vengono verificate, allora possiamo dire che la serie converge semplicemente....e basta.
Se questo teorema non funziona (o perche il limite non è infinitesimo o perche an non è decrescente) allora non possiamo dire nulla riguardo la serie..avete capito, ciò che intendo oppure no??, mi pare di parlare arabo...mah vabbe..
Non crediate che mi stia alterando perchè non è vero
però cercate di capire ciò che dico.
Poi, l'ho applicato tante volte sto teorema, e sono sicuro di ciò che dico e so.
Ripeto se le ipotesi vengono verificate, allora possiamo dire che la serie converge semplicemente....e basta.
Se questo teorema non funziona (o perche il limite non è infinitesimo o perche an non è decrescente) allora non possiamo dire nulla riguardo la serie..avete capito, ciò che intendo oppure no??, mi pare di parlare arabo...mah vabbe..
Non crediate che mi stia alterando perchè non è vero
però cercate di capire ciò che dico.Poi, l'ho applicato tante volte sto teorema, e sono sicuro di ciò che dico e so.
"Supremo_king":
ahahah..ma allora sto teorema non dice che converge, non dice che diverge, non dice che è indeterminato, non dice nulla...a che cosa serve????
Ripeto se le ipotesi vengono verificate, allora possiamo dire che la serie converge semplicemente....e basta.
Se questo teorema non funziona (o perche il limite non è infinitesimo o perche an non è decrescente) allora non possiamo dire nulla riguardo la serie..avete capito, ciò che intendo oppure no??, mi pare di parlare arabo...mah vabbe..
Non crediate che mi stia alterando perchè non è vero
Poi, l'ho applicato tante volte sto teorema, e sono sicuro di ciò che dico e so.
Vedo che sei privo di onestà intellettuale. Stammni bene, e cerca di capire quello che dici.
"Supremo_king":
ahahah..ma allora sto teorema non dice che converge, non dice che diverge, non dice che è indeterminato, non dice nulla...a che cosa serve????
Imbarazzante...
"Supremo_king":
Ripeto se le ipotesi vengono verificate, allora possiamo dire che la serie converge semplicemente....e basta. Se questo teorema non funziona (o perche il limite non è infinitesimo o perche an non è decrescente) allora non possiamo dire nulla riguardo la serie..avete capito, ciò che intendo oppure no??
Permettimi una citazione:
"lo Zingarelli 1999":
ripètere [...] 2 Ridire, tornare a dire: r. la domanda; [...] r. sempre le stesse parole [...]
Insomma l'idea base dell'azione descritta dal verbo ripetere è quella di dire (o richiamare l'attenzione su) qualcosa già detta in precedenza.
Ad essere onesti, in nessuno dei tuoi post precedenti ai richiami trovo scritta la frase "se le ipotesi vengono verificate, allora possiamo dire che la serie converge semplicemente", ergo non stai ripetendo nulla; al massimo stai cercando di porre rimedio alle imprecisioni scritte in precedenza aggiungendo a posteriori, per sembrare dotto, considerazioni corrette.*
"Supremo_king":
[...] mi pare di parlare arabo...mah vabbe..
Non crediate che mi stia alterando perchè non è vero
L'ho già detto in passato: è vero che chi legge deve sforzarsi di capire, ma chi scrive deve sforzarsi ancora di più per farsi capire.
Visto che questo forum è frequentato da una vasta utenza, non tutti sono in possesso delle vaste conoscenze matematiche utili per una corretta esegesi dei tuoi profondissimi post; quindi se vuoi farti capire, devi sforzarti di esprimerti al meglio.
Se non vuoi sforzarti, sei liberissimo di postare su qualche altro forum.
"Supremo_king":
Poi, l'ho applicato tante volte sto teorema, e sono sicuro di ciò che dico e so.
Ho visto gente che faceva conti stratosferici senza sapere un'acca di Matematica, quindi...
[mod="gugo82"]Infine, ti invito caldamente ad abbassare i toni.[/mod]
__________
* Dalle mie parti si dice più sinteticamente: staie apparann'.
avete ragione -.-''
giudicare la gente? ..bel segno di maturità.
è bello sentirsi grandi,vero?..
Ho passato analisi I con 29 , Analisi II con 30.. -.-' mai avuto problemi con la matematica.
[xdom="gugo82"]@Supremo_king: Non ce ne frega un'acca dei tuoi titoli accademici.
Hai detto una fesseria; capita a tutti.
Ammettere i propri errori ed accettare delle correzioni e/o delle critiche (soprattutto se ben circostanziate) è segno di maturità.
Chiudo, scusandomi con Spaghetto.
Anzi, spero che anche Supremo_king vorrà porgere le sue scuse all'OP almeno via PM.
Alla prossima discussione di questo tipo, ti proporrò per una sospensione.[/xdom]
Vedo che sei privo di onestà intellettuale.
giudicare la gente? ..bel segno di maturità.
è bello sentirsi grandi,vero?..
Tanto per essre chiaro, in un esame di analisi dire quello che è scritto in quelle poche righe vuol dire bocciatura sicura.
Ho passato analisi I con 29 , Analisi II con 30.. -.-' mai avuto problemi con la matematica.
[xdom="gugo82"]@Supremo_king: Non ce ne frega un'acca dei tuoi titoli accademici.
Hai detto una fesseria; capita a tutti.
Ammettere i propri errori ed accettare delle correzioni e/o delle critiche (soprattutto se ben circostanziate) è segno di maturità.
Chiudo, scusandomi con Spaghetto.
Anzi, spero che anche Supremo_king vorrà porgere le sue scuse all'OP almeno via PM.
Alla prossima discussione di questo tipo, ti proporrò per una sospensione.[/xdom]
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo