Assioma T1 e spazio duale.
Nel libro che sto leggendo parla di spazio coniugato, immagino intenda spazio duale..........detto questo, dato lo spazio $E$, che è un spazio lineare topologico (su cui avevo già letto la dimostrazione sul fatto che sia regolare), dice che lo spazio duale $E^\star$ verifica necessariamente l'assioma di separazione $T_1$, ma non capisco assolutamente il perché.
Vi riporto la dimostrazione. Infatti se $f_0 \in E^\star$ e $f_0 \ne 0$, si troverà un elemento $x_0 \in E$ tale che $f_0(x_0) \ne 0$; poniamo $\epsilon = \frac{1}{2}|f_0(x_0)|$ e $A=\{x_0\}$, allora $f_0 \notin U_{\epsilon,A}$, vale a dire $E^\star$ è un $T_1$ spazio. Ci sto sbattendo la testa da stamane.
Vi riporto la dimostrazione. Infatti se $f_0 \in E^\star$ e $f_0 \ne 0$, si troverà un elemento $x_0 \in E$ tale che $f_0(x_0) \ne 0$; poniamo $\epsilon = \frac{1}{2}|f_0(x_0)|$ e $A=\{x_0\}$, allora $f_0 \notin U_{\epsilon,A}$, vale a dire $E^\star$ è un $T_1$ spazio. Ci sto sbattendo la testa da stamane.
Risposte
Sta separando \(f_0\) da \(0\) usando il funzionale lineare continuo su \(E^\star\)
\[
f\in E^\star \mapsto \langle f, x_0\rangle\in \mathbb{K}.\]
Una volta fatto questo, un piccolo argomento di linearità mostra subito che ogni coppia di funzionali può essere separata.
\[
f\in E^\star \mapsto \langle f, x_0\rangle\in \mathbb{K}.\]
Una volta fatto questo, un piccolo argomento di linearità mostra subito che ogni coppia di funzionali può essere separata.
Scusami se rispondo ora, ho visto solo stamattina la risposta. Ho riflettuto su quello che hai scritto, sei stato davvero di aiuto.
Ho cercato di scrivere i passaggi, ma non capisco come riesce a separare con quel funzionale $f_0$ e $0$. Scusami se sono un po' duro nella comprensione.
Ho cercato di scrivere i passaggi, ma non capisco come riesce a separare con quel funzionale $f_0$ e $0$. Scusami se sono un po' duro nella comprensione.
Separare $0$ da $f$ mediante un funzionale $F$ significa che $F(f)=\alpha\ne 0=F(0)$. Chiaro questo? Una volta trovato questo funzionale separante, per ottenere una separazione topologica ti basta prendere il seguente intorno di $f$:
\[
F^{-1}\big (\alpha-\alpha/2, \alpha + \alpha/2)\big),
\]
(nel caso in cui lo spazio sia reale. Invece dell'intervallo, prendi un disco aperto se lo spazio è complesso). Questo intorno non contiene $0$ e quindi fa al caso nostro.
Nel caso in questione il funzionale separante è
\[F(f)=\langle f, x_0\rangle.\]
\[
F^{-1}\big (\alpha-\alpha/2, \alpha + \alpha/2)\big),
\]
(nel caso in cui lo spazio sia reale. Invece dell'intervallo, prendi un disco aperto se lo spazio è complesso). Questo intorno non contiene $0$ e quindi fa al caso nostro.
Nel caso in questione il funzionale separante è
\[F(f)=\langle f, x_0\rangle.\]
Grazie mille! Ora mi ritornano i passaggi, è tutto chiaro.
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