Assioma reali estesi: \(\displaystyle \frac{x}{0}=+\infty,\;x \in (\overline{\Bbb{R}}-{0})\)
Salve a tutti,
scusate a priori se il post risulterà essere banale, purtroppo però non riesco a trovare alcuna fonte che possa darmi conferma se negli assiomi di \( \overline{\Bbb{R}}\) si trova anche questo: $$\frac{x}{0}=+\infty,\; x \in (\overline{\Bbb{R}}-\{0\})$$ ho consultato vari testi e nessuno mette un simile assioma quindi non so nemmeno se è corretto scritto così, la cosa mi stranizza visto che la "legge di composizione" è solo non definita nelle \(2-\)uple del tipo \((0,0),(+\infty,+\infty),(-\infty,+\infty),(+\infty,-\infty),(-\infty,-\infty)\)... ringrazio a priori per qualsiasi delucidazione o chiarimento in merito!
scusate a priori se il post risulterà essere banale, purtroppo però non riesco a trovare alcuna fonte che possa darmi conferma se negli assiomi di \( \overline{\Bbb{R}}\) si trova anche questo: $$\frac{x}{0}=+\infty,\; x \in (\overline{\Bbb{R}}-\{0\})$$ ho consultato vari testi e nessuno mette un simile assioma quindi non so nemmeno se è corretto scritto così, la cosa mi stranizza visto che la "legge di composizione" è solo non definita nelle \(2-\)uple del tipo \((0,0),(+\infty,+\infty),(-\infty,+\infty),(+\infty,-\infty),(-\infty,-\infty)\)... ringrazio a priori per qualsiasi delucidazione o chiarimento in merito!
Risposte
Se non sbaglio quella è un'operazione per cui il valore è definito dai limiti:
\(\displaystyle \lim_{y \to 0^+} \frac{x}{y}=+\infty \)
con $x>0$, altrimenti $-\infty$ con $x<0$. Almeno il mio libro così dice.
\(\displaystyle \lim_{y \to 0^+} \frac{x}{y}=+\infty \)
con $x>0$, altrimenti $-\infty$ con $x<0$. Almeno il mio libro così dice.
@CaMpIoN, quindi per te è una forma indeterminata?
Non è una forma indeterminata, si dimostra che si ha:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{1}{x}=\pm \infty \)
La retta reale estesa non è un campo come quello dei numeri reali, non tutte le operazioni sono definite, come ad esempio appunto le forme indeterminate.
Alcune operazioni però, grazie ai limiti, possono essere estese anche per la retta reale estesa, come ad esempio l'operazione in questione.
Un'altro caso può essere
\(\displaystyle +\infty+\infty=+\infty \)
Altra operazione estesa grazie ai limiti:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)]=+\infty \)
Quando:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to x_0} g(x)=+\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{1}{x}=\pm \infty \)
La retta reale estesa non è un campo come quello dei numeri reali, non tutte le operazioni sono definite, come ad esempio appunto le forme indeterminate.
Alcune operazioni però, grazie ai limiti, possono essere estese anche per la retta reale estesa, come ad esempio l'operazione in questione.
Un'altro caso può essere
\(\displaystyle +\infty+\infty=+\infty \)
Altra operazione estesa grazie ai limiti:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)]=+\infty \)
Quando:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to x_0} g(x)=+\infty \)
@campion, si lo so... forse dovevo specificarlo, in sostanza cerco di capire quale possa essere un/il sistema di assiomi che definisce \( \overline{\Bbb{R}}\) senza avere noto alcun concetto di limite (e continuità)... Noto in vari testi, slides e appunti vari che non tutti mettono gli stessi assiomi..
Di certo quello non è un'assioma, ma una proprietà dei punti della retta reale estesa, così come la somma nel campo dei numeri razionali, talvolta tali proprietà vengono enunciate senza mostrarne la derivazione.
@campion, quindi per te nel sistema assiomatico di \( \overline{\Bbb{R}}\) quello non è da inserire come assioma 
... per quanto riguarda \( +\infty \;+ \;+\infty\) si sa che è un assioma (assieme a tanti altri) aldilà o meno se esiste una proprietà/derivazione..
... per quanto riguarda \( +\infty \;+ \;+\infty\) si sa che è un assioma (assieme a tanti altri) aldilà o meno se esiste una proprietà/derivazione..
Non dice che sono assiomi, ma che sono operazioni aritmetiche. Inoltre "These rules are modeled on the laws for infinite limits", che è quanto dice anche il libro.
"CaMpIoN":per assiomi intendo condizioni di una qualche "struttura," wikipedia era il link che avevo a portato di mano e in effetti è il meno adatto, rilancio con [url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Extended_Real_Addition]questo[/url] (preciso solo che il concetto di operazione binaria in \(\overline{\Bbb{R}}\) non è l'usuale che si incontra nei corsi di algebra quando si trattano magmi, .., semianelli, ..., campi,... in quel link si capisce cosa intendo
Non dice che sono assiomi, ma che sono operazioni aritmetiche. Inoltre "These rules are modeled on the laws for infinite limits", che è quanto dice anche il libro.
), il fatto è che in quel link non parla affatto di una estensione in \(\overline{\Bbb{R}}\) della "divisone" di \(\Bbb{R}\).. 
Non ne so' molto a riguardo perché non sono ancora a quei livelli, considerando però quanto dice il mio libro e quanto visto in giro posso dirti questo:
Per quanto ho capito la natura di $1/0$ non è ben definita in quanto alcuni limiti non sono definiti in $x \to 0$, come il seguente
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \)
Infatti il limite destro e il limite sinistro sono diversi:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty \)
Su questo ne ho parlato anche con il prof. perché il mio libro definisce tale limite come $\infty=\pm \infty$. Il prof. concordava con ciò che dice wikipedia, al contrario di quanto dice il libro.
http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_per_zero
Quanto dice qui, come ti ho mostrato sopra, si è certi solo del risultato
\(\displaystyle \frac{1}{0^{\pm}}=\pm \infty \)
Mentre comunemente si è dell'opinione che $\frac{1}{0}=\infty$ senza segno.
Per quanto ho capito la natura di $1/0$ non è ben definita in quanto alcuni limiti non sono definiti in $x \to 0$, come il seguente
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \)
Infatti il limite destro e il limite sinistro sono diversi:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty \)
Su questo ne ho parlato anche con il prof. perché il mio libro definisce tale limite come $\infty=\pm \infty$. Il prof. concordava con ciò che dice wikipedia, al contrario di quanto dice il libro.
http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_per_zero
Quanto dice qui, come ti ho mostrato sopra, si è certi solo del risultato
\(\displaystyle \frac{1}{0^{\pm}}=\pm \infty \)
Mentre comunemente si è dell'opinione che $\frac{1}{0}=\infty$ senza segno.
la cosa strana, ad esempio, che qui (punto (8)) si bypassa l'ambiguita del segno con una condizione che richiederebbe di definire a priori il valore assoluto* in \(\overline{\Bbb{R}}\)..
Mhà, comunque penso di avere risolto.. ergo thanks per tutto!
[size=50]*cosa abbastanza spicciola[/size]
Mhà, comunque penso di avere risolto.. ergo thanks per tutto!
[size=50]*cosa abbastanza spicciola[/size]
Io per quanto ho capito il fatto di considerare un $\infty$ senza segno è solo una convenzione, una traduzione per dire che un limite di una funzione tende ad un valore infinito di cui non importa il segno, cio' che dice anche il libro.
In realtà come ho detto sono concetti formalmente errati in quanto per il teorema di unicità del limite una funzione o tende a più infinito o a meno infinito, e non è definita se il limite destro e il limite sinistro sono diversi.
Comunque sarebbe di aiuto se qualche matematico esperto possa spiegarci queste ambiguità che anche a me danno dei problemi di comprensione.
In realtà come ho detto sono concetti formalmente errati in quanto per il teorema di unicità del limite una funzione o tende a più infinito o a meno infinito, e non è definita se il limite destro e il limite sinistro sono diversi.
Comunque sarebbe di aiuto se qualche matematico esperto possa spiegarci queste ambiguità che anche a me danno dei problemi di comprensione.
@campion, non mi sono interessato alla costruzione di \( \overline{\Bbb{R}}\) con il solo punto \( \infty\) (CLIC, ammesso sia questa 
)
)
Ecco il mio libro distingue quei due insiemi, la retta reale estesa e la retta reale con l'aggiunta del punto $\infty$ senza segno.
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