Assioma di Rimpiazzamento e Assioma di Separazione
Salve a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio del mio testo di analisi:
"DImostra che l'assioma di rimpiazzamento implica l'assioma di separazione".
Il testo definisce così i due assiomi (nota: traduco dall'inglese)
1. Assioma di Rimpiazzamento:
Sia $A$ un insieme. Per ogni oggetto $x \in A$ e ogni oggetto $y$, supponiamo di avere una proprietà $P(x,y)$ relativa ad
$x$ e $y$ tale che per ogni $x \in A$ vi è al più un $y$ per il quale $P(x,y)$ è vera.
Allora esiste un insieme ${y: P(x,y)$ è vera per qualche $x \in A}$ tale che per ogni oggetto $z$,
$z \in {y: P(x,y)$ è vera per qualche $x \in A} iff P(x,z)$ è vera per qualche $x \in A$.
2. Assioma di Separazione (o Specificazione)
Sia $A$ un insieme e per ogni $x \in A$ sia $P(x)$ una proprietà relativa ad $x$.
Allora esiste un insieme chiamato ${x \in A: P(x)$ è vera$}$ i cui elementi sono precisamente gli elementi $x$ in $A$ per i
quali $P(x)$ è vera. In altre parole, per ogni oggetto $y$,
$y \in {x \in A: P(x)$ è vera$} iff (y \in A $ e $P(y)$ è vera $)$
Il mio tentativo:
Se nell'Assioma di Separazione imponiamo che $P(x,y)$ sia una proprietà tale che per ogni $x \in A$ esiste un solo $y \in A$ tale che $P(x,y)$ è vera, allora questo assioma assicura l'esistenza dell'insieme ${y: P(x,y)$ è vera per qualche $x \in A}$ che è (per la condizione che abbiamo imposto su $P(x,y)$) l'insieme degli elementi di $A$ che soddisfano $P(x,y)$.
La mia perplessità deriva dal fatto che non sono riuscito a dimostrare in maniera rigorosa che assumendo il primo assioma riesco ad ottenere esattamente il secondo (intuitivamente ho "dimostrato" che imponendo una condizione aggiuntiva su $P(x,y)$ riesco ad ottenere l'esistenza di un insieme la cui definizione "assomiglia" a quella dell'insieme di cui è affermata l'esistenza nell'Assioma di Separazione.)
Qualcuno saprebbe indicarmi come correggere/rendere rigorosa questo tentativo di dimostrazione?
Grazie.
"DImostra che l'assioma di rimpiazzamento implica l'assioma di separazione".
Il testo definisce così i due assiomi (nota: traduco dall'inglese)
1. Assioma di Rimpiazzamento:
Sia $A$ un insieme. Per ogni oggetto $x \in A$ e ogni oggetto $y$, supponiamo di avere una proprietà $P(x,y)$ relativa ad
$x$ e $y$ tale che per ogni $x \in A$ vi è al più un $y$ per il quale $P(x,y)$ è vera.
Allora esiste un insieme ${y: P(x,y)$ è vera per qualche $x \in A}$ tale che per ogni oggetto $z$,
$z \in {y: P(x,y)$ è vera per qualche $x \in A} iff P(x,z)$ è vera per qualche $x \in A$.
2. Assioma di Separazione (o Specificazione)
Sia $A$ un insieme e per ogni $x \in A$ sia $P(x)$ una proprietà relativa ad $x$.
Allora esiste un insieme chiamato ${x \in A: P(x)$ è vera$}$ i cui elementi sono precisamente gli elementi $x$ in $A$ per i
quali $P(x)$ è vera. In altre parole, per ogni oggetto $y$,
$y \in {x \in A: P(x)$ è vera$} iff (y \in A $ e $P(y)$ è vera $)$
Il mio tentativo:
Se nell'Assioma di Separazione imponiamo che $P(x,y)$ sia una proprietà tale che per ogni $x \in A$ esiste un solo $y \in A$ tale che $P(x,y)$ è vera, allora questo assioma assicura l'esistenza dell'insieme ${y: P(x,y)$ è vera per qualche $x \in A}$ che è (per la condizione che abbiamo imposto su $P(x,y)$) l'insieme degli elementi di $A$ che soddisfano $P(x,y)$.
La mia perplessità deriva dal fatto che non sono riuscito a dimostrare in maniera rigorosa che assumendo il primo assioma riesco ad ottenere esattamente il secondo (intuitivamente ho "dimostrato" che imponendo una condizione aggiuntiva su $P(x,y)$ riesco ad ottenere l'esistenza di un insieme la cui definizione "assomiglia" a quella dell'insieme di cui è affermata l'esistenza nell'Assioma di Separazione.)
Qualcuno saprebbe indicarmi come correggere/rendere rigorosa questo tentativo di dimostrazione?
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo