Assioma di Dedekind
Ciao. Sono al primo anno di analisi e l'altro giorno studiavo l'assioma di Dedekind, detto "di completezza". Lo cito per comodità.
Siano $ A, Bsube R ^^ A, B!=O/|AAx inA, AA y in B x<= y $ allora $ EE s in R| x<=s<=y $.
Intuitivamente non sembra arduo da comprendere ma c'è un problema: il professore ci ha detto che questo assioma, valido nei reali, non è invece verificato con A, B in Q (razionali). Eppure, immaginando la situazione, mi sembra che questa proprietà sia verificata anche per i razionali, per quanto infatti il massimo di A e il minimo di B siano "vicini" tra loro posso sempre trovare un razionale compreso tra i due in quanto Q è denso. Cosa sto sbagliando?
Grazie
Siano $ A, Bsube R ^^ A, B!=O/|AAx inA, AA y in B x<= y $ allora $ EE s in R| x<=s<=y $.
Intuitivamente non sembra arduo da comprendere ma c'è un problema: il professore ci ha detto che questo assioma, valido nei reali, non è invece verificato con A, B in Q (razionali). Eppure, immaginando la situazione, mi sembra che questa proprietà sia verificata anche per i razionali, per quanto infatti il massimo di A e il minimo di B siano "vicini" tra loro posso sempre trovare un razionale compreso tra i due in quanto Q è denso. Cosa sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Mmmm… Hai sbagliato l’ordine dei quantificatori.
L’Assioma di Dedekind richiede che $EE s in RR: AA a in A, AA b in B, a <= s <= b$.
Per quanto riguarda $QQ$, invece, poni:
\[
\begin{split}
A &= \{ a \in \mathbb{Q}: a < 0 \lor a^2 < 2\} \\
B &= \{ b \in \mathbb{Q}: b >0 \land b^2 > 2 \}\;.
\end{split}
\]
Quali sono i numeri razionali $s$ tali che $a<= s<= b$ per ogni $a in A, b in B$?
In generale, puoi trovare qualcosa qui.
L’Assioma di Dedekind richiede che $EE s in RR: AA a in A, AA b in B, a <= s <= b$.
Per quanto riguarda $QQ$, invece, poni:
\[
\begin{split}
A &= \{ a \in \mathbb{Q}: a < 0 \lor a^2 < 2\} \\
B &= \{ b \in \mathbb{Q}: b >0 \land b^2 > 2 \}\;.
\end{split}
\]
Quali sono i numeri razionali $s$ tali che $a<= s<= b$ per ogni $a in A, b in B$?
In generale, puoi trovare qualcosa qui.
"gugo82":
Mmmm… Hai sbagliato l’ordine dei quantificatori.
L’Assioma di Dedekind richiede che $EE s in RR: AA a in A, AA b in B, a <= s <= b$.
Per quanto riguarda $QQ$, invece, poni:
\[
\begin{split}
A &= \{ a \in \mathbb{Q}: a < 0 \lor a^2 < 2\} \\
B &= \{ b \in \mathbb{Q}: b >0 \land b^2 > 2 \}\;.
\end{split}
\]
Quali sono i numeri razionali $s$ tali che $a<= s<= b$ per ogni $a in A, b in B$?
In generale, puoi trovare qualcosa qui.
Chiarissimo come al solito, il pdf mi è stato molto utile. Grazie
Solo un'aggunta: non era un errore di ordine dei quantificatori, ma di mancanza dei quantificatori indicati da gugo, i quantificatori universali messi da ProPatria sono anch'essi necessari.
"Luca.Lussardi":
Solo un'aggunta: non era un errore di ordine dei quantificatori, ma di mancanza dei quantificatori indicati da gugo, i quantificatori universali messi da ProPatria sono anch'essi necessari.
Capisco. Allora provo a riformulare il teorema nel modo corretto.
Se $ A, Bsube R ^^ A, B!=O/|AAx inA, AA y in B, x<= y $ allora $ EE s in R|AAx inA, AA y in B, x<=s<=y $.
Giusto?
"Luca.Lussardi":
Solo un'aggunta: non era un errore di ordine dei quantificatori, ma di mancanza dei quantificatori indicati da gugo, i quantificatori universali messi da ProPatria sono anch'essi necessari.
Luca, hai ragione… Non avevo letto bene: i quantificatori si riferivano al fatto che i due insiemi sono separati.
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