Assioma di dedekind

[pepp1995]

< quella analoga dell’estremo inferiore nel senso che ogni
insieme ordinato che verifichi l’una delle due verifica
necessariamente anche l’altra >>

Ho un dubbio su questo punto di questa osservazione:
"che verifichi l’una delle due verifica
necessariamente anche l’altra".
Significa che se tutti i sottoinsiemi di un insieme totalmente ordinato sono dotati di estremo superiore , allora automaticamente tutti questi sottoinsiemi saranno dotati anche di estremo inferiore?

[anto_zoolander]

Semplicemente: vale l’assioma di dedekind sse pernifni sottoinsieme di $RR$ superiormente limitato esiste il suo sup

[Plepp]

"pepp1995":
Ho un dubbio su questo punto di questa osservazione:
"che verifichi l’una delle due verifica
necessariamente anche l’altra".
Significa che se tutti i sottoinsiemi di un insieme totalmente ordinato sono dotati di estremo superiore , allora automaticamente tutti questi sottoinsiemi saranno dotati anche di estremo inferiore?

Vuol dire che se $X$ totalmente ordinato ha la proprietà del sup, allora $X$ ha anche la proprietà dell'inf e viceversa, dove per "proprietà del sup" s'intende questo: ogni $Y\subseteq X$ limitato superiormente ammette estremo superiore.

Per vederlo, supponi che in $X$ valga la proprietà del sup e che $Y\subseteq X$ sia limitato inferiormente. Allora l'insieme $M$ dei minoranti di $Y$ è limitato superiormente, quindi...

In $\RR$ la cosa è ancora più immediata, in quanto se $A\subseteq RR$ è limitato inferiormente si ha:
\[\inf A=-\sup (-A)\]
dove
\[-A:=\{-a: a\in A\}\]