Assioma di completezza per l'insieme Q
Allora, l'insieme $QQ$ soddisfa tutti gli assiomi tranne quello di completezza. Ora, per dimostrarlo, il mio libro premette una proposizione che dice:
Non esiste alcun numero razionale c tale che $c^2 = 2$.
La dimostrazione l'ho capita ma alla fine dice un'ipotesi che non aveva fatto. Vi scrivo la dimostrazione.
"Sia per assurdo $c$ un numero razionale positivo tale che $c^2 = 2$. In base a $QQ = { m/n : m, n in ZZ , n != 0}$ esistono $m$, $n$ numeri interi, che possiamo supporre entrambi positivi, tali che $c = m/n$. Se necessario, possiamo <> la frazione $m/n$, ottenendo $m$ e $n$ non entrambi pari. Risulta $(m/n)^2 = c^2 = 2$, cioè $2n^2 = m^2$. Essendo il primo membro $2n^2$ un numero intero pari, anche $m^2$ deve essere pari; ma allora anche $m$ deve essere pari (se $m$ fosse dispari, anche $m^2$ sarebbe dispari); quindi $m = 2k$, con $k$ intero. Ne segue che
$2n^2 = m^2 = 4k^2$, cioè $n^2 = 2k^2$.
Ripetendo il ragionamento, risulta che anche $n$ deve essere un numero pari, ciò che contrasta con l'ipotesi che $m$ ed $n$ siano numeri interi non entrambi pari."
Quest'ultima frase è quella che non mi ha fatto più capire la dimostrazione.
Quand'è che abbiamo dato l'ipotesi che $m$ ed $n$ non dovevano essere entrambi pari? Insomma, nella dimostrazione dice soltanto "se necessario" ma non vedo in che parte della dimostrazione ha semplificato. E poi cosa intende con <>? Cioè, come semplifica per fare in modo che ottenga $m$ ed $n$ non entrambi pari?
Non esiste alcun numero razionale c tale che $c^2 = 2$.
La dimostrazione l'ho capita ma alla fine dice un'ipotesi che non aveva fatto. Vi scrivo la dimostrazione.
"Sia per assurdo $c$ un numero razionale positivo tale che $c^2 = 2$. In base a $QQ = { m/n : m, n in ZZ , n != 0}$ esistono $m$, $n$ numeri interi, che possiamo supporre entrambi positivi, tali che $c = m/n$. Se necessario, possiamo <
$2n^2 = m^2 = 4k^2$, cioè $n^2 = 2k^2$.
Ripetendo il ragionamento, risulta che anche $n$ deve essere un numero pari, ciò che contrasta con l'ipotesi che $m$ ed $n$ siano numeri interi non entrambi pari."
Quest'ultima frase è quella che non mi ha fatto più capire la dimostrazione.
Quand'è che abbiamo dato l'ipotesi che $m$ ed $n$ non dovevano essere entrambi pari? Insomma, nella dimostrazione dice soltanto "se necessario" ma non vedo in che parte della dimostrazione ha semplificato. E poi cosa intende con <
Risposte
Beh... Questa frase:
significa che, d'ora in avanti, nella dimostrazione assumi che la frazione \(\frac{m}{n}\) sia ridotta ai minimi termini (come si diceva alle medie), sicché gli interi \(m\) ed \(n\) non hanno fattori primi in comune; in particolare, supponi che essi non hanno in comune il fattore primo \(2\), cioé che non sono entrambi pari.
"Kernul":
Se necessario, possiamo <> la frazione $m/n$, ottenendo $m$ e $n$ non entrambi pari.
significa che, d'ora in avanti, nella dimostrazione assumi che la frazione \(\frac{m}{n}\) sia ridotta ai minimi termini (come si diceva alle medie), sicché gli interi \(m\) ed \(n\) non hanno fattori primi in comune; in particolare, supponi che essi non hanno in comune il fattore primo \(2\), cioé che non sono entrambi pari.
Aaaah! Ho capito! Che stupido che sono! XD Grazie!
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