Assioma di completezza
Salve a tutti, sul libro arrivato ad un certo punto vi è una discussione in cui riprende l'assioma di completezza nel seguente modo:
Chiudiamo il paragrafo con un'osservazione sull'assioma di completezza.Abbiamo utilizzato tale assioma nella dimostrazione del teorema dell'esistenza degli zeri, in particolare che nell'affermazione che la sucessione $a_n$, essendo monotona e limitata, risulta convergente.
Cioè è essenziale; infatti, nell'ambito dei numeri razionali $Q$, dove non è verificato l'assioma di completezza, non vale nemmeno il teorema dell'esistenza degli zeri. L'assioma di completezza è essenziale anche in altri teoremi di esistenza; ad esempio nel teorema di Weierstrass, o nel teorema sull'esistenza del limite per le successioni monotone.
Ecco ora l'assimo di completezza so di cosa tratta, ma non riesco ad individuare il collegamento con le cose che dice in questa affermazione. Dove individuo l'assioma di completezza nel teorema degli zeri, nell'affermazione che una successione monotona e limitata è convergente, nel teorema di Weierstrass, nel teorema sull'esistenza del limite per le successioni monotone??
Potete darmi una mano per favore?
Chiudiamo il paragrafo con un'osservazione sull'assioma di completezza.Abbiamo utilizzato tale assioma nella dimostrazione del teorema dell'esistenza degli zeri, in particolare che nell'affermazione che la sucessione $a_n$, essendo monotona e limitata, risulta convergente.
Cioè è essenziale; infatti, nell'ambito dei numeri razionali $Q$, dove non è verificato l'assioma di completezza, non vale nemmeno il teorema dell'esistenza degli zeri. L'assioma di completezza è essenziale anche in altri teoremi di esistenza; ad esempio nel teorema di Weierstrass, o nel teorema sull'esistenza del limite per le successioni monotone.
Ecco ora l'assimo di completezza so di cosa tratta, ma non riesco ad individuare il collegamento con le cose che dice in questa affermazione. Dove individuo l'assioma di completezza nel teorema degli zeri, nell'affermazione che una successione monotona e limitata è convergente, nel teorema di Weierstrass, nel teorema sull'esistenza del limite per le successioni monotone??
Potete darmi una mano per favore?
Risposte
Alla base del teorema degli zeri e del teorema di Bolzano-Weierstrass (da cui si ottiene il Teorema di Weierstrass per l'esistenza di una sottosuccessione convergente) c'è il Lemma di Cantor, quello della successione di intervalli chiusi, limitati e inscatolati, il quale è una conseguenza diretta dell'assioma di cui parli.
seneca perdonami, ma non è che ho capito poi tanto anche perchè 1° l'unica cosa di Cantor che conosco è riguardanti le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato..questa cosa sulle successioni non la so e sul libro non la trovo 
potresti dirmi di cosa tratta? su internet anche non ho trovato molto
Correggo..l'ho trovato su un altro libro, ma non capisco il collegamento con l'assioma di completezza..
potresti dirmi di cosa tratta? su internet anche non ho trovato molto Correggo..l'ho trovato su un altro libro, ma non capisco il collegamento con l'assioma di completezza..
Sia $I_k$ una successione di intervalli chiusi, limitati e annidati, $I_k \subset RR$. Allora esiste un punto nell'intersezione $nnn_k I_k$.
Lo riconosci? Probabilmente lo hai visto impiegato nei teoremi che hai citato prima.
Invero non ricordavo bene il dettaglio:
1) l'assioma di completezza è fondamentale nella dimostrazione del fatto che ogni insieme non vuoto di numeri reali ha un estremo superiore (facile!).
2) Da questo teorema di esistenza e dalle proprietà dell'estremo superiore si deduce il Lemma di Cantor (che quindi continua ad essere una conseguenza dell'assioma di separazione/completezza).
Se ripercorri criticamente le dimostrazioni del teorema degli zeri e del teorema di Bolzano-Weierstrass ti accorgerai che viene adoperato il Lemma di Cantor. Per quanto riguarda l'esistenza del limite per funzioni/successioni monotone, anche qui, nascosta, c'è la proprietà di completezza di $RR$, perché si usa, se non ricordo male, il teorema di esistenza dell'estremo superiore (che in $QQ$, per esempio, non vale).
Lo riconosci? Probabilmente lo hai visto impiegato nei teoremi che hai citato prima.
Invero non ricordavo bene il dettaglio:
1) l'assioma di completezza è fondamentale nella dimostrazione del fatto che ogni insieme non vuoto di numeri reali ha un estremo superiore (facile!).
2) Da questo teorema di esistenza e dalle proprietà dell'estremo superiore si deduce il Lemma di Cantor (che quindi continua ad essere una conseguenza dell'assioma di separazione/completezza).
Se ripercorri criticamente le dimostrazioni del teorema degli zeri e del teorema di Bolzano-Weierstrass ti accorgerai che viene adoperato il Lemma di Cantor. Per quanto riguarda l'esistenza del limite per funzioni/successioni monotone, anche qui, nascosta, c'è la proprietà di completezza di $RR$, perché si usa, se non ricordo male, il teorema di esistenza dell'estremo superiore (che in $QQ$, per esempio, non vale).
ok, i 3/4 di quello che hai scritto l'ho capito però ancora non riesco ad individuare come si deduce il lemma di Cantor. Cioè il lemma è molto semplice e direi ovvio però il legame con l'estremo superiore non lo trovo sinceramente. Poi vorrei capire anche perchè in $Q$ non vale. Per $Q$ si intende l'insieme giusto? Ammetto di avere un handicap su questo insieme perchè non sono riuscito mai a trovare qualcosa che mi aiutasse a capire bene le proprietà che ha.
La successione delle approssimazioni decimali per difetto di $\sqrt(2)$ (intendendo che l'ennesimo termine della successione ha n cifre decimali) è una successione monotona in $Q$ e superiormente limitata, ma non converge in $Q$.
Un esempio carino(*) di quello che succede in $Q$ è dato dalla seguente funzione: $f(x) = \frac{1}{2-x^2}$
E' una funzione definita su tutto $Q$ e continua in ogni suo punto. Però:
- viola il teorema degli zeri
- ci sono intervalli chiusi e limitati sui quali non ha né max né min (addirittura non è limitata)
- ci sono intervalli chiusi e limitati sui quali non è uniformemente continua
[size=85](*) Credo di averlo già detto in qualche post nel forum, ma comunque lo ripeto. Sono molto affezionato a questo esempio perché è stato un pezzetto importante per vincere il concorso da assistente a Pavia (1977).[/size]
Un esempio carino(*) di quello che succede in $Q$ è dato dalla seguente funzione: $f(x) = \frac{1}{2-x^2}$
E' una funzione definita su tutto $Q$ e continua in ogni suo punto. Però:
- viola il teorema degli zeri
- ci sono intervalli chiusi e limitati sui quali non ha né max né min (addirittura non è limitata)
- ci sono intervalli chiusi e limitati sui quali non è uniformemente continua
[size=85](*) Credo di averlo già detto in qualche post nel forum, ma comunque lo ripeto. Sono molto affezionato a questo esempio perché è stato un pezzetto importante per vincere il concorso da assistente a Pavia (1977).[/size]
grazie fioravante, ma potresti dirmi anche perchè è cosi usando l'esempio? cioè intervalli è cosi almeno forse riesco a capirlo meglio..grazie
L'intervallo [0,2] dovrebbe andar bene in tutti e tre i casi. Scusa ma sono di fretta, adesso
ma perchè $\sqrt 2$ non è razionale?? per questo?
sì, è per questo motivo
ok ti posso chiedere una cosa? potresti dirmi le "proprietà" e quello che c'è da sapere dell'insieme dei razionali per favore? non c'ho mai capito molto di questo insieme e visto che ci stiamo mi servirebbe spero tu possa aiutarmi..grazie
spero tu possa aiutarmi..grazie
Ciao, mi spiace, ma ho troppo poco tempo a disposizione.
ok tranquilla, grazie lo stesso
Visto che mi hai chiesto delucidazioni in privato riguardo a questo specifico thread, ti rispondo qui.
Il Lemma di Cantor (il suo enunciato) l'ho scritto precedentemente:
La sua dimostrazione la puoi trovare qui: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/boggiatto/Intervalli-Incapsulati.pdf (Teorema 0.3).
Il Lemma di Cantor (il suo enunciato) l'ho scritto precedentemente:
"Seneca":
Sia $I_k$ una successione di intervalli chiusi, limitati e annidati, $I_k \subset RR$. Allora esiste un punto nell'intersezione $nnn_k I_k$.
La sua dimostrazione la puoi trovare qui: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/boggiatto/Intervalli-Incapsulati.pdf (Teorema 0.3).
@Seneca: L'enunciato corretto prevede un "esiste almeno un punto in \(\bigcap_k I_k\)".
Affinché il punto sia unico occorre che \(|I_k|\to 0\), cioè che le ampiezze degli \(I_k\) tendano a zero.
Affinché il punto sia unico occorre che \(|I_k|\to 0\), cioè che le ampiezze degli \(I_k\) tendano a zero.
"gugo82":
@Seneca: L'enunciato corretto prevede un "esiste almeno un punto in \(\bigcap_k I_k\)".
Affinché il punto sia unico occorre che \(|I_k|\to 0\), cioè che le ampiezze degli \(I_k\) tendano a zero.
Sì, intendevo questo. "Esiste un punto" non significa "esiste almeno un punto"?
"Seneca":
[quote="gugo82"]@Seneca: L'enunciato corretto prevede un "esiste almeno un punto in \(\bigcap_k I_k\)".
Affinché il punto sia unico occorre che \(|I_k|\to 0\), cioè che le ampiezze degli \(I_k\) tendano a zero.
Sì, intendevo questo. "Esiste un punto" non significa "esiste almeno un punto"?[/quote]
Certo.
Consiglierei comunque anch'io, didatticamente, l'uso della dizione "esiste almeno un punto". Per evitare equivoci da parte dei "discenti". O, meglio, se equivocano in questo caso li si può bastonare tranquillamente.
ok grazie seneca per avermi risposto 
e grazie anche agli altri per l'intervernto
e grazie anche agli altri per l'intervernto
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