Assioma completezza , sbagliato ?
Ciao sono uno studente di Analisi I ad ingegneria e sto studiando dal "Bramanti Pagani Salsa, Analisi matematica 1".
Ho cercato e ho visto che ci sono molti post a riguardo(>50).Non li ho letti tutti ma cmq non ho trovato il mio problema .
Ho un problema con la Proprietà dell'estremo superiore (o assioma di completezza) nel modo in cui mi è stato definita dalla professoressa che mi fa fare confusione e sul libro ho lo stesso problema.
Introduco le premesse che sono quelle che mi fanno obiettare
-Sia $ X $ un campo totalmente ordinato (nel mio caso prendiamo $ X $ = $ Q $ o $ R $ ma non specifichiamo quale inizialmente)
-Sia $ Esube X $ ,$k in X$ (non necessariamente $ k in E $)
si dice maggiorante di $ E $ se $ k >=x , AA x in E $
Analogamente $ kin X $ è minorante di $E$ se $ k <=x , AA x in E $
-Sup$E$(estremo superiore di E) è il minimo dei maggioranti di $E$ (se esiste) ( $ larr $ mi viene da pensare che Sup$E in X$)
-Inf$E$ (estremo inferiore di E) è il massimo dei minoranti di $E$ (se esiste) ( $ larr $ mi viene da pensare che Inf$E in X$)
ora enuncio la Proprietà dell'estremo superiore
$X$ ha la proprietà dell'estremo superiore se $ AA E sube X $ non vuoto e limitato superiormente questo possiede Sup in $X$
Il mio problema sorge con questi esempio di insiemi
$E$={$ x in Q $ : $x>=0, x^2<2$} (secondo le mie definizioni allora $X=Q$)
Con il min$E$=Inf$E$=0 non ho problemi
LA MIA OBIEZIONE è nel Sup
Mi viene detto che visto che $sqrt(2)$ NON è RAZIONALE. Sup NON ESITE in $Q$ ma $ EE $ in $R$ . Quindi il mio insieme non ha Sup $X$.
OBIEZIONE: ma se in accordo con le definizioni sopra in maggioranti sono relativi all'$X$ che sto considerando (=$Q$ per $E$). Il minimo dei maggioranti (Sup$E$) è da cercare razionale e $sqrt(2)$ non l'ho è. Questo insieme per me ha Sup che sarà il primo razionale dopo $sqrt(2)$ che se anche non so qual'è, intuitivamente so che esiste . Quindi il mio insieme ha il sup. DOVE STO SBAGLIANDO ? il ragionamento rispetto a cioè che mi viene detto(/definito) è coerente mi sembra.
Se riuscite a non rispondermi usando altre definizioni di sup ma basandovi solo su quelle sopra e spiegarmi xkè il mio ragionamento è sbagliato ne sarei grato
Scusate se ruberò il tempo a qualcuno ma ho letto e riletto anche il libro e dice la stesso cosa mi sembra
Ho cercato e ho visto che ci sono molti post a riguardo(>50).Non li ho letti tutti ma cmq non ho trovato il mio problema .
Ho un problema con la Proprietà dell'estremo superiore (o assioma di completezza) nel modo in cui mi è stato definita dalla professoressa che mi fa fare confusione e sul libro ho lo stesso problema.
Introduco le premesse che sono quelle che mi fanno obiettare
-Sia $ X $ un campo totalmente ordinato (nel mio caso prendiamo $ X $ = $ Q $ o $ R $ ma non specifichiamo quale inizialmente)
-Sia $ Esube X $ ,$k in X$ (non necessariamente $ k in E $)
si dice maggiorante di $ E $ se $ k >=x , AA x in E $
Analogamente $ kin X $ è minorante di $E$ se $ k <=x , AA x in E $
-Sup$E$(estremo superiore di E) è il minimo dei maggioranti di $E$ (se esiste) ( $ larr $ mi viene da pensare che Sup$E in X$)
-Inf$E$ (estremo inferiore di E) è il massimo dei minoranti di $E$ (se esiste) ( $ larr $ mi viene da pensare che Inf$E in X$)
ora enuncio la Proprietà dell'estremo superiore
$X$ ha la proprietà dell'estremo superiore se $ AA E sube X $ non vuoto e limitato superiormente questo possiede Sup in $X$
Il mio problema sorge con questi esempio di insiemi
$E$={$ x in Q $ : $x>=0, x^2<2$} (secondo le mie definizioni allora $X=Q$)
Con il min$E$=Inf$E$=0 non ho problemi
LA MIA OBIEZIONE è nel Sup
Mi viene detto che visto che $sqrt(2)$ NON è RAZIONALE. Sup NON ESITE in $Q$ ma $ EE $ in $R$ . Quindi il mio insieme non ha Sup $X$.
OBIEZIONE: ma se in accordo con le definizioni sopra in maggioranti sono relativi all'$X$ che sto considerando (=$Q$ per $E$). Il minimo dei maggioranti (Sup$E$) è da cercare razionale e $sqrt(2)$ non l'ho è. Questo insieme per me ha Sup che sarà il primo razionale dopo $sqrt(2)$ che se anche non so qual'è, intuitivamente so che esiste . Quindi il mio insieme ha il sup. DOVE STO SBAGLIANDO ? il ragionamento rispetto a cioè che mi viene detto(/definito) è coerente mi sembra.
Se riuscite a non rispondermi usando altre definizioni di sup ma basandovi solo su quelle sopra e spiegarmi xkè il mio ragionamento è sbagliato ne sarei grato
Scusate se ruberò il tempo a qualcuno ma ho letto e riletto anche il libro e dice la stesso cosa mi sembra
Risposte
"Rovetti91":
-Sup$E$(estremo superiore di E) è il minimo dei maggioranti di $E$ (se esiste) ( $ larr $ mi viene da pensare che Sup$E in X$)
-Inf$E$ (estremo inferiore di E) è il massimo dei minoranti di $E$ (se esiste) ( $ larr $ mi viene da pensare che Inf$E in X$)
L'intuizione che hai in questo caso è sbagliata, ma l'errore vien fuori dalla discussione del problema da te posto in seguito:
"Rovetti91":
$E$={$ x in Q $ : $x>=0, x^2<2$} (secondo le mie definizioni allora $X=Q$)
Con il min$E$=Inf$E$=0 non ho problemi
LA MIA OBIEZIONE è nel Sup
Mi viene detto che visto che $sqrt(2)$ NON è RAZIONALE. Sup NON ESITE in $Q$ ma $ EE $ in $R$ . Quindi il mio insieme non ha Sup $X$.
OBIEZIONE: ma se in accordo con le definizioni sopra in maggioranti sono relativi all'$X$ che sto considerando (=$Q$ per $E$). Il minimo dei maggioranti (Sup$E$) è da cercare razionale e $sqrt(2)$ non l'ho è. Questo insieme per me ha Sup che sarà il primo razionale dopo $sqrt(2)$ che se anche non so qual'è, intuitivamente so che esiste . Quindi il mio insieme ha il sup.
Il problema più grosso sta qui:
"Rovetti91":
il primo razionale dopo $sqrt(2)$ che se anche non so qual'è, intuitivamente so che esiste
In realtà non esiste. Per esemplificare un po', pensa agli elementi del tuo $E$ come a tutte le approssimazioni per difetto (razionali) di $sqrt(2)$ e all'insieme dei maggioranti di $E$ (i.e. ${x \in QQ | x^2 \ge 2} = QQ_+ \setminus E$) come alle approssimazioni per eccesso. Se esistesse il minimo dei maggioranti vorrebbe dire che esiste un numero razionale che approssima perfettamente per eccesso $sqrt(2)$, il che è assurdo, perché data una qualunque approssimazione razionale per eccesso di $sqrt(2)$ ne esiste sempre una migliore ( = più piccola di quella data ma ancora maggiore di $sqrt(2)$). Ovvero, dato un numero $q \in QQ$ esiste sempre un $r \in QQ$ tale che $r < q, r^2 > 2$. Ciò si può dimostrare in molti modi richiamando le proprietà di $QQ$, ma se vuoi vederlo in modo palese pensala così: mettiamoci in $RR$, hai $sqrt(2) \in RR \setminus QQ, q \in QQ$, per assurdo sia $q$ il minimo dei maggioranti di $E$, allora sono possibili due casi, o $q-sqrt(2) = 0$, o $q-sqrt(2) = \delta > 0$. Nel primo caso avremmo $q = sqrt(2)$, impossibile perché $sqrt(2)$ non è razionale e abbiamo supposto $q$ razionale; nel secondo avremmo che $q = sqrt(2) + \delta$, sia ora $\mu$ un numero razionale $0 < \mu < \delta$ (che esiste sempre, prova a giustificare il perché). Abbiamo che $sqrt(2) < sqrt(2) + \mu < sqrt(2) + \delta = q$ da cui $sqrt(2) < q - \mu$ e per costruzione $q - \mu \in QQ$, cioè $q - \mu$ è un'approssimazione razionale per eccesso (i.e. è un maggiorante di $E$) migliore di $q$, ovvero $q - \mu \in QQ_+ \setminus E, q - \mu < q$ contro l'ipotesi che $q$ fosse il minimo dei maggioranti (i.e. il più piccolo razionale più grande di $sqrt(2)$).
Prova a ripensare al tutto alla luce di questo, e nel caso tu abbia ancora qualche dubbio non esitare a chiedere
Scusa il ritardo 
. Quindi che $Q$ non abbia il sup non è dovuto al fatto che $sqrt(2)$ non è razionale, perchè non era neanche un candidato. Il problema è che non esiste il Sup e mi è stato fatto un esempio di insieme senza sup non dimostrandomi perchè. Lo scopo era solo dirmi che $Q$ non ha la proprietà dell'estremo superiore.
Sinceramente dimostrarlo con le approssimazioni non mi sarebbe mai venuto in mente e forse non ne sarei capace però mi fido.
. Quindi che $Q$ non abbia il sup non è dovuto al fatto che $sqrt(2)$ non è razionale, perchè non era neanche un candidato. Il problema è che non esiste il Sup e mi è stato fatto un esempio di insieme senza sup non dimostrandomi perchè. Lo scopo era solo dirmi che $Q$ non ha la proprietà dell'estremo superiore.Sinceramente dimostrarlo con le approssimazioni non mi sarebbe mai venuto in mente e forse non ne sarei capace però mi fido.
Scusa il ritardo . Quindi che $Q$ non abbia il sup non è dovuto al fatto che $sqrt(2)$ non è razionale, perchè non era neanche un candidato.Era qui l'incoerenza che non capivo. Il problema è che non esiste il Sup e mi è stato fatto un esempio di insieme senza sup non dimostrandomi perchè. Lo scopo era solo dirmi che $Q$ non ha la proprietà dell'estremo superiore.
Sinceramente dimostrarlo con le approssimazioni non mi sarebbe mai venuto in mente e forse non ne sarei capace però mi fido.
. Quindi che $Q$ non abbia il sup non è dovuto al fatto che $sqrt(2)$ non è razionale, perchè non era neanche un candidato.Era qui l'incoerenza che non capivo. Il problema è che non esiste il Sup e mi è stato fatto un esempio di insieme senza sup non dimostrandomi perchè. Lo scopo era solo dirmi che $Q$ non ha la proprietà dell'estremo superiore.Sinceramente dimostrarlo con le approssimazioni non mi sarebbe mai venuto in mente e forse non ne sarei capace però mi fido.
"Rovetti91":
che $Q$ non abbia il sup non è dovuto al fatto che $sqrt(2)$ non è razionale, perchè non era neanche un candidato
Immagino che qui intendessi dire $E$ e non $Q$. $E$ non ha il sup proprio perché $sqrt(2)$ non è razionale; tu dici che non ce l'ha perché $sqrt(2)$ non è neanche un candidato (e questo è vero), ma non è un candidato perché non è razionale, quindi l'irrazionalità di $sqrt(2)$ è fondamentale in questa valutazione. L'ordine logico è questo: $E \sub QQ$, se esistesse \( \sup{E} \), si avrebbe \( \sup{E} \notin \mathbb{Q} \), quindi non esiste.
"Rovetti91":
Sinceramente dimostrarlo con le approssimazioni non mi sarebbe mai venuto in mente
Non si tratta di "dimostrarlo" con le approssimazioni, uno dei modi in cui puoi vedere gli elementi di $E$ è come approssimazioni razionali di $\sqrt(2)$, ma è solo un punto di vista, gli elementi di $E$ restano gli stessi sia prima che dopo aver fatto questa considerazione. Per il futuro, se può tornarti utile, in linea di massima se hai una successione di razionali che converge verso un numero irrazionale puoi sempre vedere gli elementi della successione come approssimazioni sempre migliori del numero stesso.
Grazie per la risposta . Si intendevo $E$. Non capisco perchè la motivazione è $sqrt(2)$ irrazionale che mi fa dire che l'insieme non ha il SUP. Cioè se fosse razionale concordo che potrei affermare che ha il SUP $in E$, ma visto che $sqrt(2)$ non è candidato non posso neanche affermare che non c'è ? Per me è il più piccolo razionale DOPO $sqrt(2)$ che però non so come fare a trovarlo (con la tua dimostrazione("punto di vista") risulta che non esiste e allora ci credo, xrò senza dimostrazione non potrei dirlo). E' la motivazione del perchè $sqrt(2)$ non è razionale che non mi basta per affermalo. Cioè per me solo con quella non potrei dirlo o no ?
. Si intendevo $E$. Non capisco perchè la motivazione è $sqrt(2)$ irrazionale che mi fa dire che l'insieme non ha il SUP. Cioè se fosse razionale concordo che potrei affermare che ha il SUP $in E$, ma visto che $sqrt(2)$ non è candidato non posso neanche affermare che non c'è ? Per me è il più piccolo razionale DOPO $sqrt(2)$ che però non so come fare a trovarlo (con la tua dimostrazione("punto di vista") risulta che non esiste e allora ci credo, xrò senza dimostrazione non potrei dirlo). E' la motivazione del perchè $sqrt(2)$ non è razionale che non mi basta per affermalo. Cioè per me solo con quella non potrei dirlo o no ?
"Rovetti91":
Grazie per la risposta
Per come hai definito il tuo insieme $E$, l'elemento \( q := \sup{E} \in E\ \subset \mathbb{Q} \), se esiste, è tale che \( q^2 = 2 \). Si dimostra, ipotizzando per assurdo che un tale numero esista, che \( q \not\in \mathbb{Q} \), assurdo (perché abbiamo ipotizzato \( q \in E \)), dunque un tale numero razionale non esiste. Tale dimostrazione si svolge ricalcando esattamente la dimostrazione che \( \sqrt{2} \) non è razionale. Quindi ad essere fondamentale è l'irrazionalità (nell'ipotesi in cui esista) di un numero \( q \) tale che \( q^2 = 2 \). Ma noi (col troppo senno di poi che ci offusca la vista) sappiamo che tale numero come elemento dei numeri reali esiste (assumendo di averli costruiti/definiti), quindi per farla breve si abusa un po' della terminologia (ma neanche troppo) dicendo che è l'irrazionalità di \( \sqrt{2} \) ad intervenire. Queste considerazioni sono inopportune solo se fatte prima di aver costruito/definito $RR$.
Se hai già costruito/definito i numeri reali, sai anche che \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) e che \( \exists ! \sup{E} = \sqrt{2} \) e quindi, che il tuo insieme \( E \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) ha un supremum (la cui esistenza e unicità derivano dalla teoria) e che la sua unica limitazione superiore non è razionale; dal momento che \( E \subset \mathbb{Q} \) sai anche che \( \sup{E} = \sqrt{2} \not\in E \). In effetti per sistemare in maniera più elegante questa cosa bisognerebbe ricorrere alla teoria dell'estensione di campi, ma introdurla solo per studiare questo esempio sarebbe come usare una bomba atomica per uccidere una zanzara (in modo comunque molto elegante).
In definitiva quindi, (che tu abbia o meno $RR$) poniti nell'ottica del primo caso e vedi \( \sqrt{2} \) come un simbolo arbitrario tanto quanto \( q \) per indicare l'ipotetico \( \sup{E} \), magari riscrivilo proprio come \( q \), e tutte le cose filano lisce come l'olio
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