Asintoto orizzontale da sopra o sotto?

[blastor]

Salve a tutti, non sto riuscendo a capire quando una retta tende ad un asintoto orizzontale da sopra o da sotto, magari riesco ad aggrapparmi alla logica e ogni tanto ne esco fuori, ma non riesco a dimostrare matematicamente il perchè, quale sarebbe la condizione che mi faccia capire da dove tende la retta all'asintoto?

Grazie mille

[gio73]

prova a scrivere qualche funzione che ti mette in difficoltà

[blastor]

qualsiasi funzione, è proprio il procedimento che non riesco a capire...

comunque, sono arrivato ad una conclusione che credo sia quella corretta, ma volevo esserne sicuro chiedendo a voi

prendiamo in esempio le funzioni

$(x+3)/(x-2)$
e
$(x+3)/(-x^2+16)$

per farla più breve calcoliamo solo l'asintoto destro
l'asintoto della prima è 1
l'asintoto della seconda è 0

ora per sapere se l'asintoto è per eccesso o difetto pongo la funzione maggiore dell'asintoto, mi trovo la soluzione per x e se la soluzione è valida per un intervallo limitato a sinistra e illimiato a destra, quindi del tipo (a, +inf) significherà che l'ascissa sarà sempre superiore dell'asintoto per ogni x>a, fino ad infinito, quindi il nostro grafico toccherà l'asintoto da sopra

stessa cosa analoga se ci riferiamo a x->-inf oppure ad un grafico della funzione, dove tocca l'asintoto dal basso e quindi bisogna porre la funzione minore dell'asintoto...

metto in pratica quello che ho cercato di spiegare

prima funzione
$(x+3)/(x-2)$ asintoto 1

quindi
$(x+3)/(x-2)>1$ se dovesse essere vera per x fino ad infinito allora la funzione toccherà l'asintoto da sopra
dunque la soluzione della funzione è $x>2$ quindi (2,+inf)
la funzione tocca l'asintoto da sopra


seconda funzione
$(x+3)/(-x^2+16)$ asintoto 0

proviamo
$(x+3)/(-x^2+16)>0$
soluzione $-3
proviamo con
$(x+3)/(-x^2+16)<0$ quindi vediamo se arriva da sotto
soluzione x>4 quindi (4, +inf) dunque arriverà da sotto


mi chiedevo se fosse possibil e fattibile un ragionamento del genere?

[axpgn]

Gli asintoti orizzontali hanno "senso" solo per $x ->+-infty$ ... quindi devi "vedere" come si comporta la tua funzione in quelle "situazioni" cioè quando $x -> +infty$ e/o $x -> -infty$.

Cordialmente, Alex

[blastor]

si alex infatti avevo già posto x->+ inf, e trovato gli asintoti delle due funzioni;
io qui invece chiedevo se il metodo che uso è un buon metodo per capire se il grafico della funzione si appoggia ad all'asintoto orizontale da sopra o da sotto

[axpgn]

"blastor":$(x+3)/(-x^2+16)>0$
soluzione $-3
Premesso che non è corretto, perché studiare il segno di tutta la funzione quando ti interessa solo una "parte" ? Inoltre le funzioni possono essere ben più difficili di così quindi perché complicarsi la vita?
Io mi limiterei a quello che mi vien chiesto ... IMHO.

Cordialmente, Alex

[blastor]

non riesco a capire quando il grafico tocca l'asintoto orizzontale da sotto o da sopra e stavo cercando di abbozzare una soluzione per sapere se era corretta, potresti dirmi tu come lo andresti a verificare?

[axpgn]

Prendiamo la prima $(x+3)/(x-2)$ ... quando $x->+infty$ il NUM e il DEN diventano sempre più simili perciò la funzione tende a $1$ ... e fin qui ci siamo ...
Per quanto siano sempre più vicini i due numeri però rimarranno sempre distinti ed in particolare sarà sempre $NUM>DEN$ perciò il valore della funzione sarà sempre maggiore di $1$; quindi la funzione si avvicina all'asintoto da "sopra".
Quando invece $x->-infty$, in valore assoluto sarà sempre $|NUM|<|DEN|$ perciò la funzione avrà sempre un valore minore di $1$ quindi si avvicinerà all'asintoto da "sotto".
Adesso prova tu con l'altra ...

Cordialmente, Alex

[blastor]

$(x+3)/(-x^2+16)$
con $x \to \infty$ la funzione tende a $0$
con $(x+3)<(-x^2+16)$ definitivamente, dunque sarà sempre maggiore di $0$, quindi si avvicinerà da sotto

con $x \to \-infty$ la funzione tende a $0$
con $(|x+3|)<|(-x^2+16)|$ definitivamente, dunque sarà sempre minore di $0$, quindi si avvicinerà da sotto

ho provato a farlo come sopra, ma andando a guardare il plot su internet è sbagliato, in teoria si avvicina da sotto per $x \to \infty$ e si avvicina da sopra per $x \to \-infty$

stesso problema l'ho riscontrato nel tuo esempio per $x \to \-infty$, hai scritto che si avvicina da sotto, ma nel plot che ho visto si avvicina da sopra

[axpgn]

Fai un po' di confusione ...

Data $(x+3)/(-x^2+16)$ per $x -> +infty$ (il segno in questi casi non è facoltativo ) la funzione tende a $0$ e fin qui ci siamo; però il valore della funzione sarà SEMPRE diverso da zero, concordi ?
Ora, per $x -> +infty$ il numeratore sarà definitivamente positivo mentre il denominatore sarà definitivamente negativo e quindi il valore della funzione sarà definitivamente negativo perciò minore di zero quindi la funzione, per $x -> +infty$, si avvicinerà all'asintoto $y=0$ da "sotto", ok ? (la disequazione che hai scritto non è vera ...).
Vediamo adesso il caso per $x -> -infty$: il numeratore sarà definitivamente negativo così come il denominatore e quindi il valore della funzione sarà definitivamente positivo perciò maggiore di zero quindi la funzione, per $x -> -infty$, si avvicinerà all'asintoto $y=0$ da "sopra", ok ? (cosa c'entra il valore assoluto in questo caso ?).

"blastor":stesso problema l'ho riscontrato nel tuo esempio per $ x \to \-infty $, hai scritto che si avvicina da sotto, ma nel plot che ho visto si avvicina da sopra

Ma che "plot" hai fatto? Data la funzione $(x+3)/(x-2)$ per $x -> -infty$ la funzione si avvicina all'asintoto $y=1$ da "sotto" ...

Cordialmente, Alex

[blastor]

alex scusa se ho fatto un po di confusione, il plot è giusto.
per il valore assoluto non avevo capito bene e quindi ho cercato di farlo il più simile al tuo esempio.

ora credo di aver capito tutti, grazie mille

[axpgn]

"blastor":... il plot è giusto. ...

Quale? Il mio o il tuo ? ...

Cordialmente, Alex

[blastor]

il tuo..avevi ragione..