Asintoto orizzontale & problema di cauchy
Salve, un esercizio mi richiede di risolvere tale problema di cauchy:
$y'+y=arctan(e^x),y(0)=y_0$, verificando che $Vy_0inR$ il problema possiede una ed una sola soluzione.
Dopodichè, determinare i valori di $y_0$ tali che la retta $y=pi/2$ è un asintoto orizzontale per il grafico della soluzione.
L'integrale particlare dell'omogena è $y_(p0)=ce^(-x),cinR$;
quello della particolare (ricavato con lagrange) è :$(e^x*arctan(e^x)-1/2ln(e^(2x)+1))ce^(-x)
dove per poter trovare $gamma(x)=(e^x*arctan(e^x)-1/2ln(e^(2x)+1))$ ho risolto l'integrale indefinito $int (arctg(e^x)*e^x)$ il cui risultato è comprovato quì:http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28arctg%28e^x%29*e^x%29
Ora, l'integrale generale è:$y_g=e^(-x)(c+e^x*arctan(e^x)-1/2ln(e^(2x)+1)).
Ora risolvo il problema di cauchy: $y(0)=c+arctan(1)-1/2ln(2)=y_0
Ed ora? Non saprei come mostrare l'unicità di $y_0$ e l'asintoto, di conseguenza.
Grazie per l'aiuto
$y'+y=arctan(e^x),y(0)=y_0$, verificando che $Vy_0inR$ il problema possiede una ed una sola soluzione.
Dopodichè, determinare i valori di $y_0$ tali che la retta $y=pi/2$ è un asintoto orizzontale per il grafico della soluzione.
L'integrale particlare dell'omogena è $y_(p0)=ce^(-x),cinR$;
quello della particolare (ricavato con lagrange) è :$(e^x*arctan(e^x)-1/2ln(e^(2x)+1))ce^(-x)
dove per poter trovare $gamma(x)=(e^x*arctan(e^x)-1/2ln(e^(2x)+1))$ ho risolto l'integrale indefinito $int (arctg(e^x)*e^x)$ il cui risultato è comprovato quì:http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28arctg%28e^x%29*e^x%29
Ora, l'integrale generale è:$y_g=e^(-x)(c+e^x*arctan(e^x)-1/2ln(e^(2x)+1)).
Ora risolvo il problema di cauchy: $y(0)=c+arctan(1)-1/2ln(2)=y_0
Ed ora? Non saprei come mostrare l'unicità di $y_0$ e l'asintoto, di conseguenza.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Forse ho capito il problema ma potresti correggere il codice TeX; non digitare € ma \in, ad esempio!
"j18eos":
Forse ho capito il problema ma potresti correggere il codice TeX; non digitare € ma \in, ad esempio!
ho corretto dove stava "€" nel testo; non mi pare ci siano altri errori (o almeno credo)
Nell'ultimo argomento della soluzione vi deve essere [tex]$e^{2x}$[/tex] il cui codice è e^{2x} non [tex]$e^2x$[/tex]!
Da ciò [tex]$y_0=c+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log(2)$[/tex] e l'integrale generale è [tex]$y(x)=e^{-x}\bigg(y_0-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log(2)+e^x\arctan(e^x)-\frac{1}{2}\log(e^{2x}+1)\bigg)=e^{-x}\bigg(y_0-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log(2)\bigg)+\arctan(e^x)-\frac{\log(e^{2x}+1)}{2e^x}$[/tex] passi al limite e ti trovi [tex]$y_0$[/tex]; a meno che abbia sbagliato a riportarti la soluzione generale dato che c'è una parentesi aperta ma non chiusa!
Da ciò [tex]$y_0=c+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log(2)$[/tex] e l'integrale generale è [tex]$y(x)=e^{-x}\bigg(y_0-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log(2)+e^x\arctan(e^x)-\frac{1}{2}\log(e^{2x}+1)\bigg)=e^{-x}\bigg(y_0-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log(2)\bigg)+\arctan(e^x)-\frac{\log(e^{2x}+1)}{2e^x}$[/tex] passi al limite e ti trovi [tex]$y_0$[/tex]; a meno che abbia sbagliato a riportarti la soluzione generale dato che c'è una parentesi aperta ma non chiusa!
"j18eos":
Nell'ultimo argomento della soluzione vi deve essere [tex]$e^{2x}$[/tex] il cui codice è e^{2x} non [tex]$e^2x$[/tex]!
Da ciò [tex]$y_0=c+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log(2)$[/tex] e l'integrale generale è [tex]$y(x)=e^{-x}\bigg(y_0-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log(2)+e^x\arctan(e^x)-\frac{1}{2}\log(e^{2x}+1)\bigg)=e^{-x}\bigg(y_0-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log(2)\bigg)+\arctan(e^x)-\frac{\log(e^{2x}+1)}{2e^x}$[/tex] passi al limite e ti trovi [tex]$y_0$[/tex]; a meno che abbia sbagliato a riportarti la soluzione generale dato che c'è una parentesi aperta ma non chiusa!
sì, ho fatto un pò di casino con le parentesi stavolta...
no, non hai sbagliato, l'integrale generale è effettivamente quello che dici tu.
provando a passare a $lim(x->+oo)$, però, l'$e^(-x)$ che c'è davanti all'espressione tende a 0, e di conseguenza non esiste più il fattore $y_0$.
comunque, se ho capito bene, dovrei fare il $lim(x->+oo)$ di quell'espressione e porre il risultato $=pi/2$, e di conseguenza ricavare $y_0$, giusto?
Sparendo $y_0$ e venendoti come limite $\frac{\pi}{2}$ si ha che la richiesta è vera per ogni $y_0$!
Se vi fosse un errore sarebbe a priori ed io tali equazioni differenziali lineari non le so risolvere per adesso; le studierò a breve!
Se vi fosse un errore sarebbe a priori ed io tali equazioni differenziali lineari non le so risolvere per adesso; le studierò a breve!
"j18eos":
Sparendo $y_0$ e venendoti come limite $\frac{\pi}{2}$ si ha che la richiesta è vera per ogni $y_0$!
Se vi fosse un errore sarebbe a priori ed io tali equazioni differenziali lineari non le so risolvere per adesso; le studierò a breve!
no vabbè i calcoli precedenti sono abbastanza sicuri, li ho controllati anche con wolfram e credo che siano fatti bene;
grazie mille per l'aiuto, mi ricorderò dei tuoi consigli per i post successivi
Se parli dei codici TeX li trovi qui formule; altrimenti non saprei a cosa tu ti stia riferendo.
Dovere di utente. Armando Eos
Dovere di utente. Armando Eos
"j18eos":
Se parli dei codici TeX li trovi qui formule; altrimenti non saprei a cosa tu ti stia riferendo.
Dovere di utente. Armando Eos
sì, al fatto delle parentesi, di controllarle meglio prima di postare il messaggio
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