Asintoto Obliquo, problema coi limiti
$f(x)=xe^frac{|x|+1}{x}$
In questa funzione, dato che non ci sono asintoti orizzontali, potrebbero esserci degli asintoti obliqui. Ora, calcolando l'eventuale asintoto per $x->-oo$ trovo che
$m=lim_(x->-oo)(xe^frac{-x-1}{x})/x=1/e$
mentre
$q=lim_(x->-oo)xe^frac{-x-1}{x}-x/e$ se Wolfram Alpha non ha sbagliato,$=-1/e$
Il problema è che non riesco proprio a giungere al risultato che mi da il Wolfram, per quanto riguarda $q$.
In questa funzione, dato che non ci sono asintoti orizzontali, potrebbero esserci degli asintoti obliqui. Ora, calcolando l'eventuale asintoto per $x->-oo$ trovo che
$m=lim_(x->-oo)(xe^frac{-x-1}{x})/x=1/e$
mentre
$q=lim_(x->-oo)xe^frac{-x-1}{x}-x/e$ se Wolfram Alpha non ha sbagliato,$=-1/e$
Il problema è che non riesco proprio a giungere al risultato che mi da il Wolfram, per quanto riguarda $q$.
Risposte
Semplici manipolazioni algebriche mostrano che:
\[
x\ e^{\frac{-x+1}{x}} - x\ e^{-1} = x e^{-1}\ \left( e^{1/x} -1\right)
\]
e si finisce usando lo sviluppo asintotico \(e^y-1\approx y\) quando \(y\to 0\).
\[
x\ e^{\frac{-x+1}{x}} - x\ e^{-1} = x e^{-1}\ \left( e^{1/x} -1\right)
\]
e si finisce usando lo sviluppo asintotico \(e^y-1\approx y\) quando \(y\to 0\).
"gugo82":
e si finisce usando lo sviluppo asintotico \(e^y-1\approx y\) quando \(y\to 0\).
Ok, per quanto riguarda la manipolazione ci siam (anche se io sbadatamente facevo il minimo comune multiplo xD)... ma non ho idea di cosa dia questo sviluppo asintotico! Magari non c'è un'altro metodo? Comunque penso che forse hai fatto un errore di segno riscrivendo la funzione. Confrontala con quella che ho scritto io
Se dici che c'è un errore, allora è sbagliato il testo dell'esercizio.
Ricontrollalo, grazie.
Ad ogni modo, conosci il limite notevole:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{e^y -1}{y}=1\; ?
\]
Tale limite "vuol dire" che, quando \(y\) è una quantità piccola, è lecito approssimare la quantità \(e^y -1\) con \(y\) e sostituire quest'ultima quantità al posto dell'altra (questo è il cosiddetto Principio di Sostituzione degli Infinitesimi).
Ricontrollalo, grazie.
Ad ogni modo, conosci il limite notevole:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{e^y -1}{y}=1\; ?
\]
Tale limite "vuol dire" che, quando \(y\) è una quantità piccola, è lecito approssimare la quantità \(e^y -1\) con \(y\) e sostituire quest'ultima quantità al posto dell'altra (questo è il cosiddetto Principio di Sostituzione degli Infinitesimi).
Caspita! Hai proprio ragione!! L'errore l'ho fatto io... erroneamente ho inteso anche lo $+1$ all'interno del modulo... E la cosa bruttta è che l'ho fatto anche per calcolare tutti gli altri limiti. Mi toccherà rifarli o.o comunque ora è tutto chiaro. Grazie mille per la disponibilità!
$\cdots=1$ forse 
@gugo
@gugo
@Plepp: Cavolo, non me n'ero accorto! Grazie della segnalazione, ora correggo. 
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