Asintoto obliquo con m e q uguali..

[21zuclo]

Ciao a tutti, dovevo studiare l'asintoto obliquo se esisteva della funzione menzionata qua sotto, solo che vengono sia la $m$ che la $q$ uguali. Non mi è mai capitato, controllate se è esatto per favore. Grazie in anticipo.

Stabilire se $f(x)=(1+x)^{(x+1)/(x)}$ ha asintoto per $x\rightarrow+\infty$

allora l'esercizio l'ho svolto così

$(1+x)^{(x+1)/(x)}=(1+x)^{1+1/x}$

ora faccio $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} (1+x)^{1+1/x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{(1+1/x)\ln(1+x)\}=$
$=\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)\}\cdot \exp\{(\ln(1+x))/(x)\}=$

siccome per $x\rightarrow+\infty$ il $(\ln(1+x))/(x)\rightarrow0$
il limite diventa $\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{\ln(1+x)\} \cdot 1= +\infty$

quindi potrebbe esisterci asintoto obliquo.

$m=\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x))/(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} (\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\})/(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\})/(e^{\ln(x)})=$
$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)-\ln(x)\}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln((1+x)/(x))\}=\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{\ln(1/x+1)\}=$
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{1/x+o(1/x)\}=e^0=1$



$q=\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}1+x-x=1$

qua ho utilizzato la proprietà dei logaritmi,cioè $a^{\log_a b}=b$, in questo caso $\exp\{\ln(1+x)\}=1+x$

per cui esiste asintoto obliquo ed è $y=x+1$

[Plepp]

"21zuclo":solo che vengono sia la m che la q uguali.

Perchè, ti pare una cosa strana? Comunque hai sbagliato il secondo limite, ricontrolla.

[21zuclo]

"Plepp":[quote="21zuclo"]solo che vengono sia la m che la q uguali.

Perchè, ti pare una cosa strana? Comunque hai sbagliato il secondo limite, ricontrolla.[/quote]


ciao Pleep, non capisco dove abbia sbagliato, ho provato anche a rifare così ma mi viene sempre 1

$m=\lim_{x\rightarrow+\infty} (f(x))/(x)= \lim_{x\rightarrow+\infty} (\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\})/(x)=$

$=\lim_{x\rightarrow+\infty}(\exp{\ln(1+x)}\cdot \exp\{(\ln(1+x))/(x)\})/(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} (\exp\{\ln(1+x)\}\cdot 1)/(x)$ (1)

ho scritto il numero $1$, perchè per $x\rightarrow+\infty$ il $\lim_{x\rightarrow+\infty} e^{(\ln(1+x))/(x)}=e^0=1$

quindi il limite (1) continua così
$=\lim_{x\rightarrow+\infty} (\exp\{(\ln(1+x))\})/(e^{\ln(x)})=\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{\ln(1+x)-\ln(x)\}=\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{\ln((1+x)/(x))\}=$

$=\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{\ln(1/x+1)\}=\lim_{x\rightarrow+\infty} 1/x+1=1$

anche qui invece di usare gli sviluppi ho utilizzato la proprietà dei logaritmi $a^{\log_a b}=b$

Cioè non capisco dove sia l'errore..

[Plepp]

Ciao Lorenzo. In realtà parlavo del calcolo di $q$:

"21zuclo":
$q=\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)}-x$

E' qui che sbagli, mi pare. Io farei così
\[(1+x)^{(1+x)/x}-x=\exp[\ln (1+x)^{(1+x)/x}]-x= \exp[(1+x)\cdot\dfrac{\ln(1+x)}{x} ]-x=\cdots\]

[21zuclo]

"Plepp":Ciao Lorenzo. In realtà parlavo del calcolo di $q$:
[quote="21zuclo"]
$q=\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)+(\ln(1+x))/(x)\}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{\ln(1+x)}-x$

E' qui che sbagli, mi pare. Io farei così
\[(1+x)^{(1+x)/x}-x=\exp[\ln (1+x)^{(1+x)/x}]-x= \exp[(1+x)\cdot\dfrac{\ln(1+x)}{x} ]-x=\cdots\]
[/quote]

sì ma ti esce lo stesso risultato, perchè

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{(1+x)\cdot (\ln(1+x))/(x)\}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{(\ln(1+x))/(x)+\ln(1+x)\}-x=$

$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp\{(\ln(1+x))/(x)\}\cdot \exp\{\ln(1+x)\}-x=$ (2)

e $\lim_{x\rightarrow+\infty} \exp\{(\ln(1+x))/(x)\}= e^0=1$

è per questo che ho lasciato solamente il (2) è uguale a $\exp\{\ln(1+x)\}-x$ poi si giunge sempre al risultato, che è 1..

ovviamente per $x\rightarrow+\infty$