Asintoto obliquo
Salve a tutti mi chiamo Raffaele e sono uno studente di ingegneria meccanica del primo anno !
So bene che la risoluzione di questo esercizio per molti di voi sarà pittosto banale ma io ho ancora grosse difficoltà a svolgere esercizi quando di mezzo ci sono i logaritmi !!!
L'esercizio chiede di determinare l'equazione dell'asintoto obliquo per $ x -> +oo $ della funzione definita da $ f(x)=(x+3)log(2+6/x) $
Per prima cosa ho trovato il dominio della funzione ponendo l'argomento di logaritmo $ 2+6/x > 0 $ ottenendo $ x > -3 , x > 0 $ per cui il dominio sottoforma di intervalli è $ ]-oo,-3[v]0,+oo[ $ .
Sfruttando il limite notevole $ logy ~ y-1 $ e ponendo $ y=2+6/x $ ho ottenuto $ (x+6)/x $ che è equivalente a $ log(2+6/x) $ .
Quindi una forma equivalente della funzione è $ (x+3)((x+6))/x=(x^2+9x+18)/x $ .
A questo punto ho calcolato il coefficente angolare m facendo $ lim_(x -> +oo) (x^2+9x+18)/x^2=1 $ . Per cui m=1.
Poi ho trovato q facendo $ lim_(x -> +oo) (x^2+9x+18)/x-x=9 $ e quindi l'asintoto ha equazione y=x+9.
La soluzione invece deve essere y=log2x+3+3log2.
Dove sbaglio??????
So bene che la risoluzione di questo esercizio per molti di voi sarà pittosto banale ma io ho ancora grosse difficoltà a svolgere esercizi quando di mezzo ci sono i logaritmi !!!
L'esercizio chiede di determinare l'equazione dell'asintoto obliquo per $ x -> +oo $ della funzione definita da $ f(x)=(x+3)log(2+6/x) $
Per prima cosa ho trovato il dominio della funzione ponendo l'argomento di logaritmo $ 2+6/x > 0 $ ottenendo $ x > -3 , x > 0 $ per cui il dominio sottoforma di intervalli è $ ]-oo,-3[v]0,+oo[ $ .
Sfruttando il limite notevole $ logy ~ y-1 $ e ponendo $ y=2+6/x $ ho ottenuto $ (x+6)/x $ che è equivalente a $ log(2+6/x) $ .
Quindi una forma equivalente della funzione è $ (x+3)((x+6))/x=(x^2+9x+18)/x $ .
A questo punto ho calcolato il coefficente angolare m facendo $ lim_(x -> +oo) (x^2+9x+18)/x^2=1 $ . Per cui m=1.
Poi ho trovato q facendo $ lim_(x -> +oo) (x^2+9x+18)/x-x=9 $ e quindi l'asintoto ha equazione y=x+9.
La soluzione invece deve essere y=log2x+3+3log2.
Dove sbaglio??????
Risposte
Mi arrendo !
Ciao, non ho capito bene che limite notevole hai sfruttato, comunque così a occhio mi pare che m = log 2 e non 1. Hai a numeratore e denominatore x quindi ne prendi i coefficienti essendo infiniti dello stesso ordine il resto è una costante e puoi trascurarlo. Prova ricontrollare il limite per il calcolo di m.
"raffaele.russo2":
Per prima cosa ho trovato il dominio della funzione ponendo l'argomento di logaritmo $ 2+6/x > 0 $ ottenendo $ x > -3 , x > 0 $ per cui il dominio sottoforma di intervalli è $ ]-oo,-3[v]0,+oo[ $ .
Fin qui tutto bene
"raffaele.russo2":
Sfruttando il limite notevole $ logy ~ y-1 $ e ponendo $ y=2+6/x $ ho ottenuto $ (x+6)/x $ che è equivalente a $ log(2+6/x) $ .
Ma questo passaggio ci avrebbe fatto indovinare che studi ingegneria anche se non ce l'avessi detto
La relazione che tu hai scritto non vale sempre!
Hai parlato di limite notevole, ma un passaggio al limite è sempre calcolato per una variabile che tende ad un valore. Giusto?
Dunque ti chiedo: quando $ logy ~ y-1 $ ?
"TesTes":
Ciao, non ho capito bene che limite notevole hai sfruttato, comunque così a occhio mi pare che m = log 2 e non 1. Hai a numeratore e denominatore x quindi ne prendi i coefficienti essendo infiniti dello stesso ordine il resto è una costante e puoi trascurarlo. Prova ricontrollare il limite per il calcolo di m.
Ha applicato $\lim_{x \to 0} \frac {\log(x+1)}{x}$ facendo un cambio di variabile $y=x+1$
edit: corretti errori di segno
Rispondo a Raptorista : quando y tende a 1. cioè $ logy ~ y-1 per y -> 1 $
Benissimo, non quando $x \to +\infty$; dunque per calcolare il $\lim_{x \to +\infty}$ devi usare la funzione così com'è data
Hai capito?
Hai capito?
quindi per $ x -> +oo $ $ log(2+6/x)=log2 $ quindi adesso devo fare il $ lim_(x -> +oo) f(x)-mx = (x+3)log((2x+6)/x)-log2*x $ e sono più incasinato di prima !!
Adesso come procedo??? posso scrivere log2 x come xlog2 anche se non serve a niente !! A questo punto mi sono bloccato nuovamente !!
Ti direi di raccogliere un $\log 2$...
allora calcolo q :
$ lim_(x -> +oo) (x+3)log((2x+6)/x)-xlog2= log2((x+3)((x+6)/x))-x =log2((x^2+9x+18)/x)-x $
mmm... c'è qualcosa che non mi convince !!! potrebbe qualcuno spiegarmi passo per passo come calcolerebbe q??? magari allegandomi un link dove sono spiegati bene i logaritmi !!!
$ lim_(x -> +oo) (x+3)log((2x+6)/x)-xlog2= log2((x+3)((x+6)/x))-x =log2((x^2+9x+18)/x)-x $
mmm... c'è qualcosa che non mi convince !!! potrebbe qualcuno spiegarmi passo per passo come calcolerebbe q??? magari allegandomi un link dove sono spiegati bene i logaritmi !!!
non ne ho idea !!
Ti ricordo che il regolamento vieta di fare Up prima di 24 ore dall'ultima risposta...
Passando al limite (quanto sono simpatico XD) ti ho detto di raccogliere $log 2$, ma non intendevo quello!!
Ti do un secondo indizio: $\lim_{x \to +\infty} \log(\frac{2x+6}{x})=\log 2$
Capito?
Passando al limite (quanto sono simpatico XD) ti ho detto di raccogliere $log 2$, ma non intendevo quello!!
Ti do un secondo indizio: $\lim_{x \to +\infty} \log(\frac{2x+6}{x})=\log 2$
Capito?
Non ho letto tutto il regolmente per cui chiedo scusa !!
Tornando al limite volevi dirmi di raccogliere $ log((2x+6)/x) $ ??? così facendo ottengo $ log((2x+6)/x)(x+3)-x=log2+3 $ ??? Non mi convince !! forse mi sto fissando troppo su questo esercizio e purtroppo non me lo posso permettere dato che giovedi ho l'esame e devo ripetere molte altre cose !! Se mi scrivessi tu la risoluzione giustificando ogni passaggio ti sarei davvero molto grato in caso contrario grazie mille ugualmente !! peace
Tornando al limite volevi dirmi di raccogliere $ log((2x+6)/x) $ ??? così facendo ottengo $ log((2x+6)/x)(x+3)-x=log2+3 $ ??? Non mi convince !! forse mi sto fissando troppo su questo esercizio e purtroppo non me lo posso permettere dato che giovedi ho l'esame e devo ripetere molte altre cose !! Se mi scrivessi tu la risoluzione giustificando ogni passaggio ti sarei davvero molto grato in caso contrario grazie mille ugualmente !! peace
Non hai il risultato? Io ti stavo suggerendo proprio quello..
si il risultato è y=log2x+3+3log2.
Ah ecco ho trovato il baco: quel raccoglimento che ti ho suggerito non fa venire i conti. Riscrivilo così:
$\lim_{x \to +\infty} (x+3) \log(\frac{2x+6}{x})-x\log(2)=\lim_{x \to +\infty} (x+3) \log(2(1+\frac{3}{x}))-x\log(2)=\lim_{x \to +\infty} (x+3) (\log(2) +\log(1+\frac{3}{x}))-x\log(2)$.
Ora in pochi passaggi vengono fuori sia il $3$ sia il $3\log(2)$.
$\lim_{x \to +\infty} (x+3) \log(\frac{2x+6}{x})-x\log(2)=\lim_{x \to +\infty} (x+3) \log(2(1+\frac{3}{x}))-x\log(2)=\lim_{x \to +\infty} (x+3) (\log(2) +\log(1+\frac{3}{x}))-x\log(2)$.
Ora in pochi passaggi vengono fuori sia il $3$ sia il $3\log(2)$.
non riesco a capire quali passaggi fai per arrivare alla giusta soluzione. Raccogli direttamente il termine di grado maggiore ?? ma in qst modo ottieni $x(1+3/x)(poi??????)$
Sei arrivato ai passaggi che ti ho scritto al post precedente? A quel punto devi solo svolgere un prodotto, anche un ingegnere può farcela!
P.s. ci tengo a specificare che È UNA BATTUTA! [Oltretutto, anche io ho intenzione di iscrivermi ad ingegneria]
P.s. ci tengo a specificare che È UNA BATTUTA! [Oltretutto, anche io ho intenzione di iscrivermi ad ingegneria
]
Allora svolgendo il prodotto ottengo :
$ xlog2+xlog(1+3/x)+3log2+3log(1+3/x)-xlog2 = xlog(1+3/x)+3log2+3log(1+3/x) $
quindi adesso si tratta di svolgere $ lim_(x -> +oo) xlog(1+3/x)+3log(1+3/x) $
raccogliendo la x ottengo $ lim_(x -> +oo) x(log(1+3/x)+(3log(1+3/x))/x) $
e non mi trovo !!! manca l'ultimo maledetto passaggio e poi ho finalmente trovato l'asintoto obliquo !!! Non mi va di scrivere in bella senza capire il procedimento utilizzato per arrivare alla soluzione ! Mi serve solo un'ultima risposta completa !!! Grazie aspirante ingegnere !!!
$ xlog2+xlog(1+3/x)+3log2+3log(1+3/x)-xlog2 = xlog(1+3/x)+3log2+3log(1+3/x) $
quindi adesso si tratta di svolgere $ lim_(x -> +oo) xlog(1+3/x)+3log(1+3/x) $
raccogliendo la x ottengo $ lim_(x -> +oo) x(log(1+3/x)+(3log(1+3/x))/x) $
e non mi trovo !!! manca l'ultimo maledetto passaggio e poi ho finalmente trovato l'asintoto obliquo !!! Non mi va di scrivere in bella senza capire il procedimento utilizzato per arrivare alla soluzione ! Mi serve solo un'ultima risposta completa !!! Grazie aspirante ingegnere !!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo