Asintoto obliquo
Salve a tutti,
non mi è molto chiaro cos'è l'asintoto obliquo e come se ne ditermina l'esistenza.
Possiamo escludere che una funzione non ha asintoto obliquo se il limite che tende a più infinito non ha andamento lineare?
Ad esempio, nella funzione $(sqrt(x)-2)/(x-1)$ come motiviamo l'assenza di asintoto obliquo?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
non mi è molto chiaro cos'è l'asintoto obliquo e come se ne ditermina l'esistenza.
Possiamo escludere che una funzione non ha asintoto obliquo se il limite che tende a più infinito non ha andamento lineare?
Ad esempio, nella funzione $(sqrt(x)-2)/(x-1)$ come motiviamo l'assenza di asintoto obliquo?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
L'insieme di definizione della funzione che hai riportato risulta essere:
$ ID = [0,1)uu(1,+ oo) $
Il punto di accumulazione al finito è $1$, mentre $+oo$ è un punto di accumulazione all'infinito.
Quindi, se risulta che:
$ lim_(x -> 1-) f(x) = +-oo $
allora la retta $ x = 1 $ è un asintoto verticale sinistro.
Se risulta che:
$ lim_(x -> 1+) f(x) = +-oo $
allora la retta $ x = 1 $ è anche un asintoto verticale destro.
Analogamente, se:
$ lim_(x -> +oo) f(x) = k $ , $ k in RR $
allora la retta $ y = k $ è un asintoto orizzontale destro (se $ x -> -oo $ l'asintoto si chiamerebbe asintoto orizzontale sinistro).
Se non esistono asintoti orizzontali (ossia se non ci sono punti di accumulazione all'infinito), possono esistere asintoti obliqui; infatti, se:
$ lim_(x -> +oo) f(x)/x = m $ , $ m in RR $
e se risulta che:
$ lim_(x -> +oo) ( f(x) - mx ) = q $ , $ q in RR $
allora la retta $ y = mx + q $ è un asintoto obliquo destro (se $ x -> -oo $ l'asintoto si chiamerebbe asintoto obliquo sinistro).
$ ID = [0,1)uu(1,+ oo) $
Il punto di accumulazione al finito è $1$, mentre $+oo$ è un punto di accumulazione all'infinito.
Quindi, se risulta che:
$ lim_(x -> 1-) f(x) = +-oo $
allora la retta $ x = 1 $ è un asintoto verticale sinistro.
Se risulta che:
$ lim_(x -> 1+) f(x) = +-oo $
allora la retta $ x = 1 $ è anche un asintoto verticale destro.
Analogamente, se:
$ lim_(x -> +oo) f(x) = k $ , $ k in RR $
allora la retta $ y = k $ è un asintoto orizzontale destro (se $ x -> -oo $ l'asintoto si chiamerebbe asintoto orizzontale sinistro).
Se non esistono asintoti orizzontali (ossia se non ci sono punti di accumulazione all'infinito), possono esistere asintoti obliqui; infatti, se:
$ lim_(x -> +oo) f(x)/x = m $ , $ m in RR $
e se risulta che:
$ lim_(x -> +oo) ( f(x) - mx ) = q $ , $ q in RR $
allora la retta $ y = mx + q $ è un asintoto obliquo destro (se $ x -> -oo $ l'asintoto si chiamerebbe asintoto obliquo sinistro).
Ma quindi se esiste il limite M, anche se uguale a $0$, esisterà a forza l'asintoto obliquo?
Se leggi attentamente ciò che ho scritto nel post precedente, capirai quando esiste l'asintoto obliquo!
Se nel dominio ci sono punti di accumulazione all'infinito ($+oo$ o $-oo$) allora possono starci o gli asintoti orizzontali oppure quelli obliqui! Devi verificare prima se ci sono gli asintoti orizzontali, e se non ci sono devi verificare se ci sono quelli obliqui!
Se nel dominio ci sono punti di accumulazione all'infinito ($+oo$ o $-oo$) allora possono starci o gli asintoti orizzontali oppure quelli obliqui! Devi verificare prima se ci sono gli asintoti orizzontali, e se non ci sono devi verificare se ci sono quelli obliqui!
Quindi se non c'è il limite orizzontale/verticale, e se invece c'è M allora c'è un asintoto obliquo?
Se non ci sono gli asintoti orizzontali, allora possono esistere gli asintoti obliqui, però devono esistere i due limiti $m$ e $q$.
.... devono esistere ed essere entrambi finiti.
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