Asintoto

[maria601]

Devo trovare l'asintoto obliquo della funzione $ y= (x^2+1)/sqrt(x^2-1) $, sono riuscita a trovare il coefficiente angolare che è 1, ma non riesco a trovare l'intercetta, poichè il limite viene infinito......

[wnvl]

$ \lim_{x \to +\infty} (x^2+1)/sqrt(x^2-1)-x=0 $

-> l'asintoto obliquo è y=x

[maria601]

Perchè il limite è uguale a zero ?

[ELWOOD1]

si

[maria601]

Puoi essere più chiaro?

[ELWOOD1]

Per determinare la retta $y=mx+q$ che descrive l'asintoto devi determinare $m$ e $q$ così:

$m=\lim_(x-> +oo) \frac{f(x)}{x}$

e

$q=\lim_(x-> +oo) [f(x)-mx]$

Nel tuo caso, se risolvi i limiti, trovi $m=1$ e $q=0$ da cui $y=x$

[maria601]

Questo mi è chiaro ma come calcolare il secondo limite ? é questo che non mi riesce.......Grazie

[ELWOOD1]

Fai il denominatore comune...poi vedi che è della forma $\frac{oo}{oo}$....io userei del'Hopital

[marioin]

Io ho un problema simile, e risolvendo questo limite qui anch'io mi trovo $-oo$

Razionalizzando e poi facendo il mcm mi trovo $((x^2+1)sqrt((x^2-1))-x(x^2-1))/(x^2-1)$ quindi con un $-x^3$ sopra e $x^2$ sotto, quindi esce $-oo$

anche senza razionalizzare mi trovo un risultato simile

$(x^2+1-xsqrt(x^2-1))/sqrt(x^2-1)$ ed essendo sopra $x^2$ e sotto diciamo 'equivalente' ad $x$, esce sempre $oo$

facendo de l'hopital mi trovo $(2sqrt(x^2-1)-1)/2$ e quindi ancora $oo$

cosa e' sbagliato nel procedimento? grazie

[ciampax]

Sopra resta una forma indeterminata $\infty-\infty$, per cui non si può procedere semplicemente a scegliere la potenza di grado più alto!

[chiaraotta1]

"maria60":Devo trovare l'asintoto obliquo della funzione $ y= (x^2+1)/sqrt(x^2-1) $, sono riuscita a trovare il coefficiente angolare che è 1, ma non riesco a trovare l'intercetta, poichè il limite viene infinito......

Guarda che $f(x)=(x^2+1)/sqrt(x^2-1)$ è una funzione pari e quindi è simmetrica rispetto all'asse $y$. Perciò, se c'è un asintoto obliquo destro, ce n'è anche uno sinistro, simmetrico.
Per la ricerca dell'asintoto destro si calcola prima, come hai fatto tu,
$lim_(x->+oo)f(x)/x= lim_(x->+oo)(x^2+1)/(xsqrt(x^2-1))=lim_(x->+oo)(x^2+1)/(x^2sqrt(1-1/x^2))=lim_(x->+oo)(1+1/x^2)/sqrt(1-1/x^2)=1$.
Poi
$lim_(x->+oo)[f(x)-x]=lim_(x->+oo)[(x^2+1)/sqrt(x^2-1)-x]=lim_(x->+oo)(x^2+1-xsqrt(x^2-1))/sqrt(x^2-1)=$
$lim_(x->+oo)((x^2+1)^2-(xsqrt(x^2-1))^2)/((x^2+1+xsqrt(x^2-1))sqrt(x^2-1))=lim_(x->+oo)(x^4+1+2x^2-x^4+x^2)/((x^2+1+xsqrt(x^2-1))sqrt(x^2-1))=$
$lim_(x->+oo)(3x^2+1)/((x^2+1+x^2sqrt(1-1/x^2))sqrt(x^2-1))=lim_(x->+oo)(3+1/x^2)/((1+1/x^2+sqrt(1-1/x^2))sqrt(x^2-1))=0$
Quindi la funzione ha un asintoto obliquo destro di equazione $y=x$ e, di conseguenza, uno sinistro di equazione $y=-x$.