Asintotico semplicissimo
Ciao a tutti, avrei bisogno di sapere se esiste un modo più semplice per arrivare a scrivere questa relazione di asintotico.
$ lim t->-\infty $ $ [arctan(t^2) -pi/2 ~ -(1/t^2)] $
Io ho sviluppato con McLaurin al primo ordine e poi ho trovato il termine principale. Questi due passaggini in sede di esame non sarebbero poi così innocui (soprattutto se si è stressati e mancano pochi minuti). Esiste un "asintotico notevole" di questa roba o questo è il metodo più veloce? Se è una cosa scontata scusatemi, ma ho il vuoto in testa in questo momento...
$ lim t->-\infty $ $ [arctan(t^2) -pi/2 ~ -(1/t^2)] $
Io ho sviluppato con McLaurin al primo ordine e poi ho trovato il termine principale. Questi due passaggini in sede di esame non sarebbero poi così innocui (soprattutto se si è stressati e mancano pochi minuti). Esiste un "asintotico notevole" di questa roba o questo è il metodo più veloce? Se è una cosa scontata scusatemi, ma ho il vuoto in testa in questo momento...
Risposte
Ciao Barberofan,
Magari hai fatto così, ma è la solita relazione
$arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 $
Nel tuo caso $x := t^2 $ e quindi per $t \to - infty \implies x \to +\infty $, per cui si ha:
$arctan(t^2) - pi/2 = - arctan(1/t^2) $
Quindi per $t \to - infty $ si ha:
$arctan(t^2) - pi/2 $ [tex]\sim[/tex] $ - (1/t^2) $
Magari hai fatto così, ma è la solita relazione
$arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 $
Nel tuo caso $x := t^2 $ e quindi per $t \to - infty \implies x \to +\infty $, per cui si ha:
$arctan(t^2) - pi/2 = - arctan(1/t^2) $
Quindi per $t \to - infty $ si ha:
$arctan(t^2) - pi/2 $ [tex]\sim[/tex] $ - (1/t^2) $
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