Asintotico di una funzione in un punto

[Superandri91]

Ciaoa tutti. Stavo facendo un es di analisi in cui mi viene chiesto di fare uno studio asintotico i una funzione per trovare il gradico probabile in un punto. Il problema è che non ho capito molto bene come si trova! Ad esempio io ho $sqrt(x^2-x^4)$! il libro mi dice che per x che tende a 0+, f(x) è asintotico a x, per x che tende a 1-, f è asintotico a $2sqrt(1-x)$... come mai, in particolare il secondo? Grazie in anticipo

[Superandri91]

Nessuno mi sa dare una mano?

[Superandri91]

Come mai la funzione è asintotico a $2sqrt(1-x)$?

[ciampax]

Ma sai quando due funzioni si dicono asintotiche in un punto?

[Superandri91]

Si, quando il limite del loro rapporto in quel punto è 1! Ma in questo caso come è stato calcolato?

[ciampax]

....definizione un po' spiccia, ma in sostanza corretta. Il metodo "semplice" per determinare i comportamenti asintotici è quello di sfruttare gli equivalenti in $x=0$ (ad esempio $\sin x\sim x,\ e^x\sim 1+x$ per $x\to 0$). Per $x\to 1^-$, allora, puoi procedere così: poni $t=1-x$ in modo che $t\to 0^+$: risulta

$\sqrt{x^2-x^4}=\sqrt{x^2(1-x^2)}=\sqrt{(1-t)^2(1-(1-t)^2)}=|1-t|\sqrt{2t-t^2}\sim \sqrt{2t}$

in quanto $|1-t|\to 1$ mentre, sotto radice, va preso il termine con grado più basso (che risulta la parte principale). Ne segue che

$\sqrt{x^2-x^4}\sim\sqrt{2(1-x)}$ per $x\to 1^-$.

Analogamente puoi ragionare per $x\to 0$: in questo caso banalmente $\sqrt{x^2-x^4}\sim\sqrt{x^2}=|x|$.

[Superandri91]

ok ma il 2 è fuori dalla radice nei risultati, non dentro!

[ciampax]

Fidati, quello è un errore. Se fai il limite $\lim_{x\to 1^-}\frac{\sqrt{x^2-x^4}}{2\sqrt{1-x}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ che è diverso da $1$.