Asintotico di una funzione

[Powervegeta]

Ciao ragazzi, non riesco a calcolare l'asintotico di questa funzione per x-> +∞
$ f(x) = [ln(1+sqrt(e^x-x))]^2 $
Ho provato a ricondurmi all'asintotico: $ (1+ε)^α−1∼αε $ ma non riesco a trovare la strada giusta

Come devo fare?

[Ian2]

Io l'ho risolto in questo modo.
$ [ln(1+sqrt(e^x-x))]^2 = [ln(1+e^(x/2)*sqrt(1-x/e^x))]^2 $

$ x/e^x -> 0$ quindi l'argomento è asintotico a $ 1+e^(x/2) $.

Poiché a questo punto l'argomento tende a $ +oo $ l'intero logaritmo è asintotico al logaritmo della parte principale ( $ e^(x/2) $).

Quindi: $ [ln(1+e^(x/2)*sqrt(1-x/e^x))]^2 ~ [ln(e^(x/2))]^2 $

Da cui $ (x/2)^2=x^2/4 $

[Powervegeta]

"Ian":Io l'ho risolto in questo modo.
$ [ln(1+sqrt(e^x-x))]^2 = [ln(1+e^(x/2)*sqrt(1-x/e^x))]^2 $

$ x/e^x -> 0$ quindi l'argomento è asintotico a $ 1+e^(x/2) $.

Poiché a questo punto l'argomento tende a $ +oo $ l'intero logaritmo è asintotico al logaritmo della parte principale ( $ e^(x/2) $).

Quindi: $ [ln(1+e^(x/2)*sqrt(1-x/e^x))]^2 ~ [ln(e^(x/2))]^2 $

Da cui $ (x/2)^2=x^2/4 $

Grazie per la risposta, ma non riesco a capire una cosa in questo passaggio:
$ [ln(1+e^(x/2)*sqrt(1-x/e^x))]^2 ~ [ln(e^(x/2))]^2 $

Questo asintotico non è valido solo con x->0 ?

[Powervegeta]

Scusate l'insistenza ma...qualche suggerimento?

[Frink1]

Quell'asintotico vale perché per $x->+oo$ l'unico termine significativo (o meglio, il più significativo) è proprio $e^(x/2)$.

Per giustificarlo puoi pensare agli ordini di infinito.

[Powervegeta]

"Frink":Quell'asintotico vale perché per $x->+oo$ l'unico termine significativo (o meglio, il più significativo) è proprio $e^(x/2)$.

Per giustificarlo puoi pensare agli ordini di infinito.

Ok capito, grazie