Asintotico ad una funzione?
ho fatto questo esercizio ma non sono sicuro di averlo fatto giusto:
Trovare l’asintotico in un intorno di zero della funzione
$f(t) = e^t − cos(t) + log(1 − t)$
io so che:
$cos(t) ~ t $ per $x |-> 0 $
$log(1-t) ~ t $ per $x |-> 0 $
quindi la funzione:
$f(t) ~ e^t-t+t$
$f(t) ~ e^t$
ma è giusto?
Trovare l’asintotico in un intorno di zero della funzione
$f(t) = e^t − cos(t) + log(1 − t)$
io so che:
$cos(t) ~ t $ per $x |-> 0 $
$log(1-t) ~ t $ per $x |-> 0 $
quindi la funzione:
$f(t) ~ e^t-t+t$
$f(t) ~ e^t$
ma è giusto?
Risposte
No: lo sviluppo del coseno è sbagliato proprio, quello del logaritmo parte con $-t$ e devi sviluppare anche l'esponenziale. Riprova.
ok quindi devo risolverlo sviluppando in questo modo:
$e^t=1+t-t^2/2+o(t^2)$
$cost=1+t^2/2+o(t^2)$
$log(1-t)=-t+t^2/2+o(t^2)$
$1+t-t^2/2+o(t^2)-(1+t^2/2+o(t^2))-t+t^2/2+o(t^2)$
se risolvo
$f(t) ~ -t^2/2$
giusto ora?
$e^t=1+t-t^2/2+o(t^2)$
$cost=1+t^2/2+o(t^2)$
$log(1-t)=-t+t^2/2+o(t^2)$
$1+t-t^2/2+o(t^2)-(1+t^2/2+o(t^2))-t+t^2/2+o(t^2)$
se risolvo
$f(t) ~ -t^2/2$
giusto ora?
Sicuramente ti stai avviando verso la risoluzione corretta, tuttavia non è giusto perché $e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\text{o}(t^2)$; prova a correggere.
giusto, non lo so nemmeno io perché ho inserito un meno nello sviluppo dell'esponenziale...
$f(t)~t^2/2$
ora è corretto
?
$f(t)~t^2/2$
ora è corretto
?
Ora sì, bravo!
un ultima cosa, l'esercizio continua e volevo chiederti se ho fatto giusto:
Calcolare poi il seguente limite:
$lim_(xto0) 1/(x^3+4sin(x)^7-3sin(x)^5) int_(0)^(x) f(t) dt $
l'integrale per x che tende a 0 dovrebbe fare 0, quindi il risultato del limite è 0, giusto?
Calcolare poi il seguente limite:
$lim_(xto0) 1/(x^3+4sin(x)^7-3sin(x)^5) int_(0)^(x) f(t) dt $
l'integrale per x che tende a 0 dovrebbe fare 0, quindi il risultato del limite è 0, giusto?
No, non fa $0$ perché è una forma indeterminata del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$.
Devi usare la stima asintotica che hai fatto più un noto teorema, quale può essere un teorema utile nel caso in cui compaiano integrali in un limite?
Devi usare la stima asintotica che hai fatto più un noto teorema, quale può essere un teorema utile nel caso in cui compaiano integrali in un limite?
per caso devo usare de l'hopital e fare la derivata dell'integrale e del denominatore?
Esatto, prova a farlo e vediamo insieme se il procedimento sarà corretto.
allora, la derivata dell'integrale dovrebbe essere:
$x^2/2$
mentre la derivata del denominatore:
$(3x^2+28sinx^6cos(x)^7-15sinx^4cos(x)^5) $
quindi devo fare:
$lim_(xto0) x^2/(2*(3x^2+28sinx^6cos(x)^7-15sinx^4cos(x)^5)) $
$ ~ x^2/(2(3x^2))$ $ rarr $ $lim_(xto0) x^2/(6x^2)=1/6$
$x^2/2$
mentre la derivata del denominatore:
$(3x^2+28sinx^6cos(x)^7-15sinx^4cos(x)^5) $
quindi devo fare:
$lim_(xto0) x^2/(2*(3x^2+28sinx^6cos(x)^7-15sinx^4cos(x)^5)) $
$ ~ x^2/(2(3x^2))$ $ rarr $ $lim_(xto0) x^2/(6x^2)=1/6$
Cerchiamo di dire le cose meglio: la funzione $f(t)=e^{t}-cos(t)+\ln(1-t)$ è continua nell'intervallo $(0,x)$ in quanto somma e composizione di funzioni continue, pertanto per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che la funzione integrale
$$F(x)=\int_0^x f(t) \text{d}t$$
è derivabile nell'intervallo $(0,x)$ e risulta $F'(x)=f(x)$.
Dunque, usando il teorema di De L'Hôpital, al numeratore hai proprio la funzione di cui hai studiato il comportamento asintotico nei messaggi precedenti; perciò puoi concludere come hai fatto (usa gli $\text{o}$-piccoli, è più precisa come notazione!), infatti il risultato $\frac{1}{6}$ è corretto.
$$F(x)=\int_0^x f(t) \text{d}t$$
è derivabile nell'intervallo $(0,x)$ e risulta $F'(x)=f(x)$.
Dunque, usando il teorema di De L'Hôpital, al numeratore hai proprio la funzione di cui hai studiato il comportamento asintotico nei messaggi precedenti; perciò puoi concludere come hai fatto (usa gli $\text{o}$-piccoli, è più precisa come notazione!), infatti il risultato $\frac{1}{6}$ è corretto.
perfetto, grazie mille mephlip
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