Asintoticità incomprensibili.
Chi mi aiuta a capire perchè la funzione $log (1 - cosx)$ è asintotica per $x$ tendente a $0$ a $log (1/2) x^2$?
Qual è il teorema utilizzato?
Qual è il teorema utilizzato?
Risposte
Forse volevi scrivere "asintotica [...] a $log(x^2/2)$"?
Sì.
Credevo non ci fossero equivoci.
Credevo non ci fossero equivoci.
Sì, la domanda poteva essere formulata in modo più chiaro. L'italiano è involuto.
Comunque, vorrei vedere da turtle87 qualche suggerimento su come si possa affrontare il problema.
Comunque, vorrei vedere da turtle87 qualche suggerimento su come si possa affrontare il problema.
L'italiano è involuto.
Non capisco...
Comunque, vorrei vedere da turtle87 qualche suggerimento su come si possa affrontare il problema.
Penso a vari teoremi, che non sono ancora miei, stanno ancora sui quaderni.
C'è l'asintoticità notevole per cui la funzione $1 - cosx $ è asintotica per $x$ tendente a $0$ a $1/2 x^2$. Ma di mezzo c'è la funzione logaritmo. Allora penso a qualche teorema sulle funzioni composte, o a qualche asintoticità notevole sui logaritmi, almeno tra quelle che mi sono state presentate.
Penso quindi al fatto che se in un'asintoticità notevole al posto di $x$ c'è $f(x)$, purchè questa tenda a $0$ (nella fattispecie, vale per qualunque $x_0$), allora nelle espressioni delle asintotiche si sostituisce $f(x)$ a $x$. Ma nemmeno questo mi viene in aiuto, poichè sul logaritmo non c'è niente che possa avvicinarsi alla soluzione, almeno apparentemente.
Provo semplicemente ad applicare le definizioni di asintotica, allora, cosa che comunque ho fatto prima di tutto, e che non mi ha dato esiti soddisfacenti.
Provo a vedere se il limite del rapporto $frac {log (1 - cosx)}{log(x^2 /2)}$ per $x$ tendente a $0$ sia 1. Non riesco a vedere proprietà dei logaritmi in grado di aiutarmi. Mi vengono forme indeterminate, oppure forme diverse da 1.
Provo a vedere se posso applicare la definizione secondo cui $f(x) - g(x)$ = "o piccolo" di $g$, ma non riesco a trovare questo "o piccolo".
Poi magari la soluzione è banale, e allora vuol dire che o trionfa l'ignoranza o il sonno
P.S.- E' questo il motivo per cui ho evitato di precisare i miei tentativi. Mi sento anche in colpa, ma va a finire che poi finisco con l'annoiare chi legge. Diciamo che non ho il dono della sintesi, ecco.
Vorremmo far vedere che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1-cosx))/(ln(x^2/2))=l$
con $l$ finito e non nullo.
Portando $l$ al primo membro e mettendo a m.c.m., dire che vale la (*) equivale a dire che:
$lim_(x\to 0) (ln(1-cos x)-l*ln(x^2/2))/(ln(x^2/2))=0 \quad$;
per le proprietà del logaritmo possiamo scrivere il limite precedente come:
(**) $\quad lim_(x\to 0) (ln((1-cos x)/(x^2/2)^l))/(ln(x^2/2))=0 \quad$.
Il denominatore di (**) diverge quindi, affinchè sia nullo il limite (**), basta che il numeratore rimanga limitato intorno a $0$; se ricordiamo il limite fondamentale:
$lim_(x\to 0) (1-cos x)/(x^2/2)=1$
possiamo dire che, prendendo $l=1$, troviamo addirittura $lim_(x\to 0) ln((1-cos x)/(x^2/2))=ln1=0$ e quindi il numeratore di (**) è limitato (poichè convergente) per $l=1$.
Ne viene che (**) vale con $l=1$, cosicché anche (*) vale con $l=1$. Tanto basta per ottenere la tesi.
Ovviamente sono calcoli fatti veloce alle 2 di notte; ti chiedo di controllarli.
In realtà la (**) vale per ogni scelta di $l<=1$.
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1-cosx))/(ln(x^2/2))=l$
con $l$ finito e non nullo.
Portando $l$ al primo membro e mettendo a m.c.m., dire che vale la (*) equivale a dire che:
$lim_(x\to 0) (ln(1-cos x)-l*ln(x^2/2))/(ln(x^2/2))=0 \quad$;
per le proprietà del logaritmo possiamo scrivere il limite precedente come:
(**) $\quad lim_(x\to 0) (ln((1-cos x)/(x^2/2)^l))/(ln(x^2/2))=0 \quad$.
Il denominatore di (**) diverge quindi, affinchè sia nullo il limite (**), basta che il numeratore rimanga limitato intorno a $0$; se ricordiamo il limite fondamentale:
$lim_(x\to 0) (1-cos x)/(x^2/2)=1$
possiamo dire che, prendendo $l=1$, troviamo addirittura $lim_(x\to 0) ln((1-cos x)/(x^2/2))=ln1=0$ e quindi il numeratore di (**) è limitato (poichè convergente) per $l=1$.
Ne viene che (**) vale con $l=1$, cosicché anche (*) vale con $l=1$. Tanto basta per ottenere la tesi.
Ovviamente sono calcoli fatti veloce alle 2 di notte; ti chiedo di controllarli.
In realtà la (**) vale per ogni scelta di $l<=1$.
"turtle87":L'italiano è involuto.
Non capisco...
Credo che la "prova sperimentale" di quanto affermo sia data dal fatto che io ci ho messo un bel po' a capire cosa tu volessi dire, e che anche Gugo ha trovato la frase non molto comprensibile (vedi il suo primo post).
Grazie per la pazienza, come al solito.
Scusa l'ignoranza (ho l'impressione che tutto rientri in un discorso più ampio), ma non basta far vedere che la cosa valga se $l = 1$?
Piccola parentesi. Questo è possibile farlo ESCLUSIVAMENTE sfruttando il fatto che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, e il fatto che il limite di una costante è la costante stessa?
In base a quale proprietà? Non riesco a capire qui…
Vorremmo far vedere che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1-cosx))/(ln(x^2/2)) = l$
con finito e non nullo.
Scusa l'ignoranza (ho l'impressione che tutto rientri in un discorso più ampio), ma non basta far vedere che la cosa valga se $l = 1$?
Portando al primo membro e mettendo a m.c.m., dire che vale la (*) equivale a dire che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1-cosx)- l*ln(x^2/2))/(ln(x^2/2)) = 0$
Piccola parentesi. Questo è possibile farlo ESCLUSIVAMENTE sfruttando il fatto che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, e il fatto che il limite di una costante è la costante stessa?
e quindi il numeratore di (**) è limitato (poichè convergente) per l=1
In base a quale proprietà? Non riesco a capire qui…
"turtle87":
Grazie per la pazienza, come al solito.
Vorremmo far vedere che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1-cosx))/(ln(x^2/2)) = l$
con finito e non nullo.
Scusa l'ignoranza (ho l'impressione che tutto rientri in un discorso più ampio), ma non basta far vedere che la cosa valga se $l = 1$?
Al principio non sai quanto ti possa uscire fuori da quel limite, per questo metti un $l$ generico.
Infatti due infinitesimi si dicono equivalenti se e solo se sono entrambi finiti i limiti $lim_(x\to x_0)(f(x))/(g(x)), lim_(x\to x_0) (g(x))/(f(x))$; è chiaro che se $lim_(x\to x_0)(f(x))/(g(x))=l!=0$ e finito e se $f$ non è nulla intorno a $x_0$ (eccezion fatta per $x_0$), allora si ha $lim_(x\to x_0)(g(x))/(f(x))=1/l!=0$ finito, cosicché $f,g$ sono equivalenti.
"turtle87":
Portando al primo membro e mettendo a m.c.m., dire che vale la (*) equivale a dire che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1-cosx)- l*ln(x^2/2))/(ln(x^2/2)) = 0$
Piccola parentesi. Questo è possibile farlo ESCLUSIVAMENTE sfruttando il fatto che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, e il fatto che il limite di una costante è la costante stessa?
Fondamentalmente, questo fatto è vero per la definizione di limite: prova a scrivere meglio $|(f(x))/(g(x))-l|< epsilon$ facendo il m.c.m. e vedi che dire (*) oppure dire (**) è la stessa cosa.
"turtle87":e quindi il numeratore di (**) è limitato (poichè convergente) per l=1
In base a quale proprietà? Non riesco a capire qui…
Dai, sono le basi... una funzione convergente in un punto è limitata intorno a quel punto.
Dai, sono le basi... una funzione convergente in un punto è limitata intorno a quel punto.
Quindi è limitata la restrizione ad un opportuno intorno del punto, non la funzione in generale...
"turtle87":Dai, sono le basi... una funzione convergente in un punto è limitata intorno a quel punto.
Quindi è limitata la restrizione ad un opportuno intorno del punto, non la funzione in generale...
Sarebbe opportuno che prima di scrivere cose a caso tu leggessi gli interventi di chi risponde alle tue domande:
"Gugo82":
bla bla bla
(**) $\quad lim_(x\to 0) (ln((1-cos x)/(x^2/2)^l))/(ln(x^2/2))=0 \quad$.
Il denominatore di (**) diverge quindi, affinchè sia nullo il limite (**), basta che il numeratore rimanga limitato intorno a $0$; se ricordiamo il limite fondamentale:
bla bla bla
E' che se non capisco (all'inizio, ora pare che la spiegazione sia chiara) non riesco a fare attenzione, tutto qui. Difatti, rileggendo, mi ero reso conto di aver saltato quel rigo.
Comunque non credo sia disattenzione, questo lo dico perchè potrebbe ricapitare ove qualche passaggio sia poco chiaro. Non è la prima volta che capita, me ne rendo conto, ma, a meno di colpi di sonno, non penso sia realmente superficialità.
Comunque non credo sia disattenzione, questo lo dico perchè potrebbe ricapitare ove qualche passaggio sia poco chiaro. Non è la prima volta che capita, me ne rendo conto, ma, a meno di colpi di sonno, non penso sia realmente superficialità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo