Asintoticità
Salve a tutti,
circa il limite $ lim_(x -> 0) (e^x-1)/x=1 $ quindi $ e^x-1 ~ x $ . Sapendo che non si può usare il simbolo di asintotico come se fosse un uguale perchè $ e^x ~ x+1 $ è falso? Entrambi rapportati mi fanno $1$, quindi non posso dire che una funzione è asintotica ad un'altra solo perchè il loro rapporto mi fa $1$. Quali condizioni bisogna che le funzioni rispettino per poter affermare l'asintoticità?
Grazie.
circa il limite $ lim_(x -> 0) (e^x-1)/x=1 $ quindi $ e^x-1 ~ x $ . Sapendo che non si può usare il simbolo di asintotico come se fosse un uguale perchè $ e^x ~ x+1 $ è falso? Entrambi rapportati mi fanno $1$, quindi non posso dire che una funzione è asintotica ad un'altra solo perchè il loro rapporto mi fa $1$. Quali condizioni bisogna che le funzioni rispettino per poter affermare l'asintoticità?
Grazie.
Risposte
Sono un po' arrugginito su Analisi 1, ma credo debba considerare gli sviluppi di Taylor e gli o-piccoli...
Se ci mettiamo d'accordo che \(f(x)\sim g(x),\ x\to 0\) significa che \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=1, \) allora per vedere se \(e^x\sim x+1,\ x\to 0\) basta calcolare questo limite:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{e^x}{x+1}=1.
\]
Quindi \(e^x\sim x+1\) per \(x\to 0\). Fine.
\[
\lim_{x\to 0} \frac{e^x}{x+1}=1.
\]
Quindi \(e^x\sim x+1\) per \(x\to 0\). Fine.
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