Asintotica stabilità dell'origine

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti !!!! Vorrei capire la seguente cosa : sto risolvendo un esercizio sui sistemi dinamici in cui mi si chiede di verificare che l'origine sia punto di equilibrio staile trovando un'opportuna funzione di Lyapunov del tipo $ V(x,y)=ax^2m+by^2n $ con $ a,b>0 , n,m \in N $ !!
Ora facendo i conti mi viene fuori che $ V(x,y)=-4x^2-4x^2y^4 $ e dunque l'origine è un punto stabile !!! E fin qui nessun problema....tra le soluzioni però c'è scritto anche che l'origine non è asintoticamente stabile perchè NON è vero che $ V' (x,y) <0 $ per ogni (x,y) diverso da (0,0),infatti :
$ V' (x,y)= -4x^2-4x^2y^4 =0 $ se e solo se $x=0 $ cioè si annulla su tutto l'asse y ; si osserva però che l'asse y non è positivamente invariante e quindi l'origine è asintoticamente stabile !!! Il sistema che si analizza è $ x'=-x+y^3 , y'= -x-x^2y $

Mi potreste spiegare cosa intende dal NON... in poi ??? Non capisco proprio la connessione con il fatto che $ V' (x,y) <0 $
Grazie !!!!

[aelagon]

Rileggiti il teorema di Lyapunov ... per essere A.S. la derivata temporale di V deve essere minore strettamente di zero per ogni (x,y) diverso da (0,0) per avere una condizione sufficiente di asintotica stabilità. Il resto invece si basa sul principio di invarianza di Lasalle. Cmq non penso che Analisi Mateatica sia la sezione corretta del forum xD

[Sk_Anonymous]

Ok...grazie !!! Comunque ho capito !!!! bisogna far vedere che $ V'(x,y) $ non deve contenere altri sottoinsieme positivamente invarianti oltre l'origine,per dimostrare l'asintotica stabilità !!!! Comunque...hai idea di come si possa cancellare un messaggio ????