Asintoti verticali ed orizzontali
sto studiando la seguente funzione : x*(e^((2+x)/x))
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... %2Fx%29%29
Per vederla scritta in modo più leggibile potete cliccare sul link, non riesco a determinare i vari asintoti.. non capisco come arrivare alla soluzione..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... %2Fx%29%29
Per vederla scritta in modo più leggibile potete cliccare sul link, non riesco a determinare i vari asintoti.. non capisco come arrivare alla soluzione..
Risposte
Ciao
per quanto riguarda il vedere correttamente le formule puoi usare l'editor che trovi in basso
la tua funzione é quindi $f(x)= x*(e^((2+x)/x))$
come vedi nelle condizioni di esistenza di questa funzione hai che $x \ne 0$ quindi devi vedere che cosa succede alla funzione quando $x$ tende a $0^+$ e cosa succede quando tende a $0^-$
ovviamente questo si fa usando i limiti quindi devi calcolare
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right)[/tex]
che puoi vedere come
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot \left( e^{\frac{2}{x}+1} \right) = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot e\left( e^{\frac{2}{x}} \right)[/tex]
ricordando che in questo caso arriviamo a zero con valori negativi, in prossimitá dello zero abbiamo al posto di $x$ prendiamo $-x$ quindi
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot e\left( e^{-\frac{2}{x}} \right) = \frac{x\cdot e }{e^{\frac{2}{x}}} =\frac{0}{\infty}=0[/tex]
quando invece calcoliamo
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right)[/tex]
dobbiamo considerare sempre $x>0$ quindi il tuo limite diventa
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right) = 0\cdot e^{\infty}[/tex]
tieni peró conto che $e^oo$ va ad infinito molto piú velocemente di quanto $x$ tenda a $0$ quindi il tuo limite vale $oo$
quindi hai un asintoto verticale in $x=0$
ora devi vedere se hai degli asintoti orizzontali o obliqui
per quanto riguarda gli asintoti orizzontali devi vedere se
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right)= c[/tex]
dove $c$ é semplicemente una costante che appartiene ad [tex]\mathbb{R}[/tex]
ovviamente devi fare lo stesso ragionamento per $x->+oo$
infine devi vedere se ci sono asintoti obliqui ovvero se la tua funzione tende ad una retta di equazione $y=mx+q$
per fare questo devi verificare se (indico la tua funzione con $f(x)$)
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=m[/tex]
e poi se
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)-mx=q[/tex]
ovviamente va verificato anche per $x-> -oo$
spero di esserti stato di aiuto
se qualcosa non ti é chiaro chiedi pure
per quanto riguarda il vedere correttamente le formule puoi usare l'editor che trovi in basso
la tua funzione é quindi $f(x)= x*(e^((2+x)/x))$
come vedi nelle condizioni di esistenza di questa funzione hai che $x \ne 0$ quindi devi vedere che cosa succede alla funzione quando $x$ tende a $0^+$ e cosa succede quando tende a $0^-$
ovviamente questo si fa usando i limiti quindi devi calcolare
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right)[/tex]
che puoi vedere come
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot \left( e^{\frac{2}{x}+1} \right) = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot e\left( e^{\frac{2}{x}} \right)[/tex]
ricordando che in questo caso arriviamo a zero con valori negativi, in prossimitá dello zero abbiamo al posto di $x$ prendiamo $-x$ quindi
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}} x\cdot e\left( e^{-\frac{2}{x}} \right) = \frac{x\cdot e }{e^{\frac{2}{x}}} =\frac{0}{\infty}=0[/tex]
quando invece calcoliamo
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right)[/tex]
dobbiamo considerare sempre $x>0$ quindi il tuo limite diventa
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right) = 0\cdot e^{\infty}[/tex]
tieni peró conto che $e^oo$ va ad infinito molto piú velocemente di quanto $x$ tenda a $0$ quindi il tuo limite vale $oo$
quindi hai un asintoto verticale in $x=0$
ora devi vedere se hai degli asintoti orizzontali o obliqui
per quanto riguarda gli asintoti orizzontali devi vedere se
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} x\cdot \left( e^{\frac{2+x}{x}} \right)= c[/tex]
dove $c$ é semplicemente una costante che appartiene ad [tex]\mathbb{R}[/tex]
ovviamente devi fare lo stesso ragionamento per $x->+oo$
infine devi vedere se ci sono asintoti obliqui ovvero se la tua funzione tende ad una retta di equazione $y=mx+q$
per fare questo devi verificare se (indico la tua funzione con $f(x)$)
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=m[/tex]
e poi se
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)-mx=q[/tex]
ovviamente va verificato anche per $x-> -oo$
spero di esserti stato di aiuto
se qualcosa non ti é chiaro chiedi pure
Chiarissimo, grazie mille.
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