Asintoti orizzontali,verticali ed obliqui

[Scremino1]

Ciao a tutti, ho questo problema da risolvere e vorrei chiedere il vostro aiuto.

$ f(x) = x*e^(-2/x) $

Devo trovare gli eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui.

Iniziando a vedere se esistono asintoti verticali, calcolando il limite sinistro e poi destro della funzione

$ lim_(x->0-) f(x) = x*e^(-2/x) $

Gia qui mi blocco poichè il limite viene sotto forma di $ 0/0 $ .

Come si puo' proseguire ? Avendo gia la risposta so gia che esiste un asintoto verticale, però non so come arrivare al risultato.. Vi ringrazio molto!

[Summerwind78]

ciao

per quanto riguarda $x-> 0^-$

io la vedrei in questo modo

teniamo conto che $x$ si sta avvicinando allo $0$ ma ha comunque valore negativo pertanto possiamo vedere il limite come

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} -x\cdot e^{\frac{2}{x}} = - 0\cdot e^{\infty} = - 0\cdot \infty[/tex]

che sarebbe una forma indeterminata, ma siccome $e^oo$ va ad infinito molto più velocemente rispetto a quanto $x$ tenda a $0$ in quanto è un'esponenziale, allora il limite è $-oo$

per quanto riguarda invece quando $x->0^+$ allora tutti i valori che prendiamo in considerazione vanno considerati positivi quindi
$lim_(x->0+) x\cdot e^(-2/x) = lim_(x->0+) x/ e^(2/x) = 0/e^(2/0)=0/e^oo=0/oo=0$

[Scremino1]

"Summerwind78":ciao

per quanto riguarda $x-> 0^-$

io la vedrei in questo modo

teniamo conto che $x$ si sta avvicinando allo $0$ ma ha comunque valore negativo pertanto possiamo vedere il limite come

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} -x\cdot e^{\frac{2}{x}} = - 0\cdot e^{\infty} = - 0\cdot \infty[/tex]

che sarebbe una forma indeterminata, ma siccome $e^oo$ va ad infinito molto più velocemente rispetto a quanto $x$ tenda a $0$ in quanto è un'esponenziale, allora il limite è $-oo$

per quanto riguarda invece quando $x->0^+$ allora tutti i valori che prendiamo in considerazione vanno considerati positivi quindi
$lim_(x->0+) x\cdot e^(-2/x) = lim_(x->0+) x/ e^(2/x) = 0/e^(2/0)=0/e^oo=0/oo=0$

Ti ringrazio e il ragionamento in effetti fila liscio.. io pensavo però che quel metodo di guardare "chi va piu velocemente a infinito" lo si usava solo nel caso in cui ad esempio fosse stato $ x $ + $ e^(-2/x) $ e non quando sono moltiplicati... mi sbagliavo ? Perchè in esercizi simili infatti facevo un raccoglimento mettendo in evidenza il fattore piu grande.. Delucidami perfavore

[Summerwind78]

Non sono ferratissimo per quanto riguarda i limiti e quindi credo che ci siano spiegazioni più valide delle mie, ma di solito non distinguo somme da moltiplicazioni quando applico quel ragionamento

[Scremino1]

"Summerwind78":Non sono ferratissimo per quanto riguarda i limiti e quindi credo che ci siano spiegazioni più valide delle mie, ma di solito non distinguo somme da moltiplicazioni quando applico quel ragionamento

Ok.. sono pieno di dubbi.. oltre a pensare che si potesse fare per raccoglimento e quando ci sono delle somme, ero anche convinto si potesse fare nel caso di un limite che tende a infinito.. e non per quelli che tendono a zero.. Qualcuno che puo' dare una spiegazione e chiarire i dubbi ?

[Scremino1]

Qualcuno che mi toglie il dubbio perfavore? A breve ho l'esame e per ora è forse l'unico esercizio-tipo che mi da problemi.. Probabilmente è una banalità che trascuro però vorrei capire quale è il procedimento giusto ed eventualmente se ho scritto fesserie nel post sopra. Inoltre anche a calcolare il limite obliquo ho dei problemi perchè il coefficente angolare m lo ricavo ed è 1. Mentre il termine noto q, facendo il limite che tende a infinito della f(x) - mx mi blocco e non so come svolgerlo.. Grazie !

[Summerwind78]

poni

$t=1/x$ quindi il tuo limite diventa

$lim_(t->0) (e^(-2t)-1)/t$

ora vedi il tuo limite come


$lim_(t->0) (e^(-2t)-e^(2t-2t))/(t\cdot e^(2t-2t)) = lim_(t->0) ( e^(-2t)(1-e^(2t)))/(e^(-2t)(t\cdot e^(2t)) )= lim_(t->0) ( 1-e^(2t))/(t\cdot e^(2t) $

questo limite ti da una forma indeterminata del tipo $0/0$

ma sia il numeratore che io denominatore sono funzioni continue e derivabili quindi puoi usare de l'hopital derivando il numeratore e il denominatore separatamente e ottieni

$lim_(t->0) ( 1-e^(2t))/(t\cdot e^(2t)) = lim_(t->0) (d/(dt)( 1-e^(2t)))/(d/(dt)(t\cdot e^(2t))) = lim_(t->0) (-2e^(2t))/(e^(2t)(2t+1))$

che per $t->0$ quanto fa?

[Scremino1]

"Summerwind78":poni

$t=1/x$ quindi il tuo limite diventa

$lim_(t->0) (e^(-2t)-1)/t$

ora vedi il tuo limite come


$lim_(t->0) (e^(-2t)-e^(2t-2t))/(t\cdot e^(2t-2t)) = lim_(t->0) ( e^(-2t)(1-e^(2t)))/(e^(-2t)(t\cdot e^(2t)) )= lim_(t->0) ( 1-e^(2t))/(t\cdot e^(2t) $

questo limite ti da una forma indeterminata del tipo $0/0$

ma sia il numeratore che io denominatore sono funzioni continue e derivabili quindi puoi usare de l'hopital derivando il numeratore e il denominatore separatamente e ottieni

$lim_(t->0) ( 1-e^(2t))/(t\cdot e^(2t)) = lim_(t->0) (d/(dt)( 1-e^(2t)))/(d/(dt)(t\cdot e^(2t))) = lim_(t->0) (-2e^(2t))/(e^(2t)(2t+1))$

che per $t->0$ quanto fa?

Non ho capito come sei arrivato da questa forma $ lim_(t->0) (e^(-2t)-1)/t$ a quest'altra $lim_(t->0) (e^(-2t)-e^(2t-2t))/(t\cdot e^(2t-2t)) $ ... come mai ?

[Summerwind78]

ci sono arrivato ponendo $1=e^0=e^(2t-2t)$

quindi se nel limite originale al posto di $1$ metti $e^(2t-2t)$ e poi sia al numeratore che al denominatore raggruppi $e^(-2t) $ e infine lo semplifichi arrivi alla forma a cui sono arrivato io

ripensandoci meglio non era peró necessario fare come ho fatto io

puoi applicare de l'hopital anche quando hai la forma

$(e^(-2t)-1)/t$

derivando separatamente il denomniatore e il numeratore ottieni

$lim_(x->0) (-2e^(-2t))/1$

che ti porta giá al risultato corretto

scusa se ho complicato il ragionamento, non ci sono arrivato subito

[Scremino1]

"Summerwind78":ci sono arrivato ponendo $1=e^0=e^(2t-2t)$

quindi se nel limite originale al posto di $1$ metti $e^(2t-2t)$ e poi sia al numeratore che al denominatore raggruppi $e^(-2t) $ e infine lo semplifichi arrivi alla forma a cui sono arrivato io

ripensandoci meglio non era peró necessario fare come ho fatto io

puoi applicare de l'hopital anche quando hai la forma

$(e^(-2t)-1)/t$

derivando separatamente il denomniatore e il numeratore ottieni

$lim_(x->0) (-2e^(-2t))/1$

che ti porta giá al risultato corretto

scusa se ho complicato il ragionamento, non ci sono arrivato subito

Mi chiedi anche scusa? Ti ringrazio moltissimo invece .. quindi metodo per sostituzione e poi subito de l'hopital.. Grazie ancora!!