Asintoti obliqui con infiniti ed infinitesimi

[tabpozz]

Salve, mi dareste una mano con questo esercizio?

Determinare gli asintoti obliqui della funzione $f(x)=|x|e^((1+x)/(2+x))$ usando l'algebra degli "o piccolo" (ossia infiniti ed infinitesimi).

Ciao e grazie a tutti in anticipo...

[Megan00b]

La funzione ha un asintoto obliquo a +infinito di equazione y=e(x-1).
Più tardi ti dico come si fa con gli opiccolo se non lo fa prima qualcunaltro

[tabpozz]

Si infatti, l'asintoto è quello lì (l'ho calcolato con le tecniche "standard"), però tuttavia non capisco come si calcola usando gli o piccolo...

[Sk_Anonymous]

osserva che, per $x->+-oo$, $(1+x)/(2+x)=(x(1+1/x))/(x(1+2/x))

essendo poi, $alpha/x=o(1)$ per $x->+-oo$, $alpha in RR\\{0}

[gugo82]

"tabpozz":Salve, mi dareste una mano con questo esercizio?

Determinare gli asintoti obliqui della funzione $f(x)=|x|e^((1+x)/(2+x))$ usando l'algebra degli "o piccolo" (ossia infiniti ed infinitesimi).

Ciao e grazie a tutti in anticipo...

Provo, anche se a me le notazioni di Landau non piacciono molto e perciò le uso molto di rado.

Ragioniamo per $xto +oo$, analogamente potendosi fare nel caso opposto.
Innanzitutto dobbiamo stabilire se esiste finito il $lim_(xto+oo)(|x|e^((x+1)/(x+2)))/(x)$: abbiamo:

$lim_(xto+oo)(|x|e^((x+1)/(x+2)))/(x)=lim_(xto+oo)e^((x+1)/(x+2))=lim_(xto+oo)e^(1-1/(x+2))=lim_(xto+oo)e*e^(-1/(x+2))$;

ricordando la formula di Taylor d'ordine zero intorno a $0$ $e^y=1+o(y)$ e notando che $lim_(xto+oo)-1/(x+2)=0$, possiamo scrivere:

$lim_(xto+oo)(|x|e^((x+1)/(x+2)))/(x)=lim_(xto+oo)e*(1+o(-1/(x+2)))=e$.

Quindi, se asintoto obliquo c'è, esso ha coefficiente angolare pari ad $e$. Rimane da vedere se esiste finito il limite che restituisce l'intercetta dell'asintoto sull'asse delle ordinate, ossia il $lim_(xto+oo)|x|e^((x+1)/(x+2))-e*x$: abbiamo:

$lim_(xto+oo)|x|e^((x+1)/(x+2))-e*x=lim_(xto+oo)x*e*e^(-1/(x+2))-e*x=lim_(xto+oo)e*x*(e^(-1/(x+2))-1)$;

ricordando la formula di Taylor del primo ordine intorno a $0$ $e^y=1+y+o(y^2)$ e tenendo sempre presente che $$lim_(xto+oo)-1/(x+2)=0$$, possiamo scrivere:

$lim_(xto+oo)|x|e^((x+1)/(x+2))-e*x=lim_(xto+oo)e*x*(1-1/(x+2)+o(1/((x+2)^2))-1)=lim_(xto+oo)e*x*(-1/(x+2)+o(1/((x+2)^2)))=-e$

[N.B.: il passaggio dal terzo al quarto membro tiene conto del fatto che $lim_(xto+oo)x*o(1/((x+2)^2))=0$: questa è l'unica cosa che può essere giustificata con l'algebra degli o.]

Ne consegue che la tua funzione ha come asintoto obliquo la retta d'equazione $y=e*(x-1)$ (come previsto).

Che ne dite?



@NOKKIAN80: Una domandina stupida: la notazione $o(1)$ vuol dire che la funzione considerata è infinitesima, o sbaglio?
(Da questo si capisce la mia scarsa familiarità con i simboli di Landau! )

[Sk_Anonymous]

chiaro

[tabpozz]

Ok, tutto chiaro. Grazie mille...