Asintoti e rette tangenti
Ciao a tutti,
quando mi si chiede di calcolare di una data funzione in $+\infty$ vuol dire che mi devo fare il limite della funzione per x che tende ad infinito?
Ad esempio se ho la funzione $g(x)=x+sin(\frac{1}{x})$ per trovare l'asintoto di $g$ in $+\infty$ dovrei fare il
$lim_{x\to+\infty}x+sin(\frac{1}{x})=+\infty$? e quindi l'asintoto di $g$ in $+\infty$ è $+\infty$?
Mentre quando mi si chiede di calcolare le rette tangenti al grafico di g parallele all'asintoto come mi comporto, sapendo che la formula delle rette tangenti è $y=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)$?
quando mi si chiede di calcolare di una data funzione in $+\infty$ vuol dire che mi devo fare il limite della funzione per x che tende ad infinito?
Ad esempio se ho la funzione $g(x)=x+sin(\frac{1}{x})$ per trovare l'asintoto di $g$ in $+\infty$ dovrei fare il
$lim_{x\to+\infty}x+sin(\frac{1}{x})=+\infty$? e quindi l'asintoto di $g$ in $+\infty$ è $+\infty$?
Mentre quando mi si chiede di calcolare le rette tangenti al grafico di g parallele all'asintoto come mi comporto, sapendo che la formula delle rette tangenti è $y=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)$?
Risposte
allora, la prima frase è priva di senso; se vuoi calcolare gli asintototi obliqui della fuznione , in quel caso speciale sei abbastanza fortunato perchè vale la proprietà in generale:
si ha un asintoto obliquo quando la funzione è nella forma: \[y = g(x) + h(x)\] dove $g(x)$ è una funzione lineare in $x$ (cioè una retta), mentre $h(x)$ ha limite finito per $x$ tendente all'infinito, che è proprio in nostro caso; allora per calcolarlo:
\begin{align*}
m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sin\frac{1}{x }}{x} =1\\
q&=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx] =\lim_{x \to +\infty} x+\sin\frac{1}{x }- x=0
\end{align*}
quindi la retta $y=x$ è asintoto obliquo per $f(x)$
si ha un asintoto obliquo quando la funzione è nella forma: \[y = g(x) + h(x)\] dove $g(x)$ è una funzione lineare in $x$ (cioè una retta), mentre $h(x)$ ha limite finito per $x$ tendente all'infinito, che è proprio in nostro caso; allora per calcolarlo:
\begin{align*}
m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sin\frac{1}{x }}{x} =1\\
q&=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx] =\lim_{x \to +\infty} x+\sin\frac{1}{x }- x=0
\end{align*}
quindi la retta $y=x$ è asintoto obliquo per $f(x)$
il testo dell'esercizio mi dice:
data la funzione $g(x)$ (che ti ho scritto) si determini l'asintoto di $g$ in $+\infty$ e si scrivino le equazioni delle rette tangenti al grafico di $g$ parallele all'asintoto.
Quindi questo vorrebbe dire che mi devo trovare l'asintoto obliquo?
data la funzione $g(x)$ (che ti ho scritto) si determini l'asintoto di $g$ in $+\infty$ e si scrivino le equazioni delle rette tangenti al grafico di $g$ parallele all'asintoto.
Quindi questo vorrebbe dire che mi devo trovare l'asintoto obliquo?
si esattamente, anche perchè per trovare eventuali asintoti orizzontali o verticali dovresti sapere come fare ..
Se non vado errato per trovare gli asintoti verticale dovrei calcolarmi il limite per x che tende ai punti esclusi dal dominio, mentre per trovare gli asintoti orizzontali mi devo trovare il limite per x che tende infinito e se viene infinito vuol dire che l'asintoto non esiste e potrebbe esistere quello obliquo, mentre se viene finito allora quello obliquo sicuramente non esiste.
Giusto?
Giusto?
Grazie mille.
Ma per la mia funzione, se non dico castronerie il dominio è tutto R giusto? quindi per calcolare i miei asintoti verticali come faccio?
Ma per la mia funzione, se non dico castronerie il dominio è tutto R giusto? quindi per calcolare i miei asintoti verticali come faccio?
tutto $\RR$ ....meno il punto $x=0$ dove si annulla l'argomento del seno
a ok, quindi devo fare il limite per x tendente a 0 che verrebbe infinito e quindi esiste l'asintoto verticale per x=0..
per $x\to 0$ il limite non esiste ...
perche il seno di 1/x non è definito nell'intervallo (-1, 1)? ma se fosse x+sinx il limite esisterebbe e sarebbe 0 giusto?
perchè quanto $x\to0$ il seno oscilla tra $[-1,1]$ e dunque il limite non esite; si se fosse $x+\sinx$ il limite sarebbe $0$ 
ok, grazie mille Noisemaker
Riesumo il post perchè mi manca il secondo punto.
Da quello che ho capito da questo esercizio, facendo il limite della funzione per \(x\to\infty\) mi viene \(+\infty\) quindi esiste l'asintoto obliquo che ha la retta di equazione \(y=mx+q\) dove \(m=lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x}\) e \(q=lim_{x\to\infty}g(x)+mx\)...e alla fine dei calcoli mi viene che l'equazione dell'asintoto obliquo è \(y=x+1\) che è corretto.
Ora, il secondo punto mi chiede di trovare l'equazione della retta tangente il grafico di \(g(x)\) e parallela all'asintoto trovato.
So che l'equazione della retta tangente è \(y=f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\) e per essere parallela all'asintoto deve avere coefficente angolare \(1\), ma ho problemi a trovarla...come fare?
Grazie mille a tutti.
Da quello che ho capito da questo esercizio, facendo il limite della funzione per \(x\to\infty\) mi viene \(+\infty\) quindi esiste l'asintoto obliquo che ha la retta di equazione \(y=mx+q\) dove \(m=lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x}\) e \(q=lim_{x\to\infty}g(x)+mx\)...e alla fine dei calcoli mi viene che l'equazione dell'asintoto obliquo è \(y=x+1\) che è corretto.
Ora, il secondo punto mi chiede di trovare l'equazione della retta tangente il grafico di \(g(x)\) e parallela all'asintoto trovato.
So che l'equazione della retta tangente è \(y=f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\) e per essere parallela all'asintoto deve avere coefficente angolare \(1\), ma ho problemi a trovarla...come fare?
Grazie mille a tutti.
mi aiutate per favore?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo